Question

如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結論：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．

恒成立的結論有　_________　．（把你認為正確的序號都填上）

 

Answer 1

【答案】

①②③⑤

【解析】①△ABC和△DCE均是等邊三角形，點A，C，E在同一條直線上，

∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°

∴△ACD≌△ECB

∴AD=BE，故本選項正確；

②∵△ACD≌△ECB

∴∠CBQ=∠CAP，

又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，

∴△BCQ≌△ACP，

∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，

∴△PCQ為等邊三角形，

∴∠QPC=60°=∠ACB，

∴PQ∥AE，故本選項正確；

③∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°，

∴∠ACP=∠BCQ，

∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），

∴CP=CQ，AP=BQ，故本選項正確；

④已知△ABC、△DCE為正三角形，

故∠DCE=∠BCA=60°⇒∠DCB=60°，

又因為∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°⇒∠DPC＞60°，

故DP不等于DE，故本選項錯誤；

⑤∵△ABC、△DCE為正三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CAD=∠CBE，

∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，

∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，

∴∠AOB=60°，故本選項正確．

綜上所述，正確的結論是①②③⑤．