Question

【題目】如圖，等邊的邊長為，是邊上的動點，交邊于點，在邊上取一點，使，連接．

（1）請直接寫出圖中與線段相等的兩條線段；（不再另外添加輔助線）

（2）探究：當點在什么位置時，四邊形是平行四邊形？并判斷四邊形是什么特殊的平行四邊形，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，以點為圓心，為半徑作圓，根據與平行四邊形四條邊交點的總個數，求相應的的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）由平行易得△BFE是等邊三角形，那么各邊是相等的；
（2）當點E是BC的中點時，△PEC為等邊三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四邊形EFPC是平行四邊形，再有EF=EC可證為菱形；
（3）根據各點到圓心的距離作答即可．

解：（1）如圖，∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠A=∠C=60°．

又∵EF∥AC，

∴∠BFE=∠A=60°，∠BEF=∠C=60°，

∴△BFE是等邊三角形，PE=EB，

∴EF=BE=PE=BF；

（2）當點E是BC的中點時，四邊形是菱形；

∵E是BC的中點，

∴EC=BE，

∵PE=BE，

∴PE=EC，

∵∠C=60°，

∴△PEC是等邊三角形，

∴PC=EC=PE，

∵EF=BE，

∴EF=PC，

又∵EF∥CP，

∴四邊形EFPC是平行四邊形，

∵EC=PC=EF，

∴平行四邊形EFPC是菱形；

（3）如圖所示：

當點E是BC的中點時，EC=1，則NE=ECcos30°=，

當0＜r＜時，有兩個交點；

當r=時，有四個交點；

當＜r＜1時，有六個交點；

當r=1時，有三個交點；

當r＞1時，有0個交點．