Question

【題目】已知四邊形中，，垂足為點，．

(1)如圖1，求證：；

(2)如圖2，點為上一點，連接，，求證：；

(3)在(2)的條件下，如圖3，點為上一點，連接，點為的中點，分別連接，，＋＝＝，，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）如圖1中，作DF⊥BC延長線于點F，垂足為F．證明△ABH≌△DCF（HL），即可解決問題．
（2）如圖2中，設∠BAH＝α，則∠B＝90°α；設∠ADE＝β則∠CED＝2∠ADE＋2∠BAH＝2α＋2β．證明∠ECD＝∠EDC即可．
（3）延長CM交DA延長線于點N，連接EN，首先證明△ECD為等邊三角形，延長PD到K使DK＝EQ，證明△EQC≌△DKC（SAS），推出∠DCK＝∠ECQ，QC＝KC，推出∠PCK＝∠DCK＋∠PCD＝30°＝∠PCQ，連接PQ．證明△PQC≌△PKC（SAS）推出PQ＝PK，可得PK＝PD＋DK＝PD＋EQ＝5＋2＝7，作PT⊥QD于T，∠PDT＝60°，∠TPD＝30°，作CR⊥ED于R，勾股定理解直角三角形求出RC，RQ即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，作DF⊥BC延長線于點F，垂足為F．

∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠DFC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＋∠AFD＝180°，
∴∠ADF＝180°90°＝90°，
∴四邊形AHFD為矩形，
∴AH＝DF，
∵AH＝DF，AB＝CD，
∴△ABH≌△DCF（HL）
∴∠B＝∠DCF，
∴AB∥CD．

（2）如圖2中，設∠BAH＝α，則∠B＝90°α；設∠ADE＝β，

則∠CED＝2∠ADE＋2∠BAH＝2α＋2β．

∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠B＝∠ADC＝90°α，
∴∠EDC＝∠ADC∠ADE＝90°αβ，
在△EDC中，∠ECD＝180°∠CED∠EDC＝180°（90°αβ）（2α＋2β）＝90°αβ
∴∠EDC＝∠ECD，
∴EC＝ED．

（3）延長CM交DA延長線于點N，連接EN，

∵AD∥BC，
∴∠ANM＝∠BCM，
∵∠AMN＝∠BMC、AM＝MB，
∴△AMN≌△BMC（AAS）
∴AN＝BC，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD＝BC，
∴AD＝AN，
∵AD∥BC，
∴∠DAH＝∠HAD＝90°，
∴EN＝ED，
∵ED＝EC，
∴EC＝DE＝EN，
∴∠ADE＝∠ANE，∠ECM＝∠ENM，
∵∠ADE＋∠ECM＝30°，
∴∠DEC＝∠ADE＋∠DNE＋∠NCE，
＝∠ADE＋∠ANE＋∠ENC＋∠DCN
＝2（∠ADE＋∠ECM）＝2×30°＝60°．
∵EC＝ED，
∴△ECD為等邊三角形，
∴EC＝CD，∠DCE＝60°，延長PD到K使DK＝EQ，
∵PD∥EC，
∴∠PDE＝∠DEC＝60°，∠KDC＝∠ECD＝60°，
∴∠KDC＝∠DEC，EC＝CD，DK＝EQ，
∴△EQC≌△DKC（SAS），
∴∠DCK＝∠ECQ，QC＝KC，
∵∠ECQ＋∠PCD＝∠ECD∠PCQ＝60°30°＝30°，
∴∠PCK＝∠DCK＋∠PCD＝30°＝∠PCQ，
連接PQ．

∵PC＝PC，∠PCK＝∠PCQ， QC＝KC，
∴△PQC≌△PKC（SAS）
∴PQ＝PK，
∵PK＝PD＋DK＝PD＋EQ＝5＋2＝7，
作PT⊥QD于T，∠PDT＝60°，∠TPD＝30°，
∴TD＝PD＝，PT＝=，
在Rt△PQT中，QT＝，

∴QD＝，
∴ED＝8＋2＝10，
∴EC＝ED＝10，作CR⊥ED于R，∠DEC＝60°∠ECR＝30°，
∴ER＝EC＝5，RC＝，RQ＝52＝3
在Rt△QRC中，CQ＝．