Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分線AE與∠ABC的平分線BD相交于點F，FG∥AC，聯結DG．

（1）求證：BFBC=ABBD；

（2）求證：四邊形ADGF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）通過證明△ABF∽△CBD，由相似三角形對應邊成比例即可得出結論；

（2）先證明△ABF≌△GBF，得到AF=FG，BA=BG，再證明△ABD≌△GBD，得到∠BAD=∠BGD，進而得到AF∥DG，從而有四邊形ADGF是平行四邊形，根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得到結論．

試題解析：證明：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC．

∵∠BAC=2∠C，∴∠BAF=∠C=∠EAC．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．

∵∠ABF=∠C，∠ABD=∠DBC，∴△ABF∽△CBD，∴，∴BFBC=ABBD．

（2）∵FG∥AC，∴∠C=∠FGB，∴∠FGB=∠FAB．

∵∠BAF=∠BGF，∠ABD=∠GBD，BF=BF，∴△ABF≌△GBF，∴AF=FG，BA=BG．

∵BA=BG，∠ABD=∠GBD，BD=BD，∴△ABD≌△GBD，∴∠BAD=∠BGD．

∵∠BAD=2∠C，∴∠BGD=2∠C，∴∠GDC=∠C，∴∠GDC=∠EAC，∴AF∥DG．

又∵FG∥AC，∴四邊形ADGF是平行四邊形，∴AF=FG，∴四邊形ADGF是菱形．