Question

【題目】（1）問題發現，如圖1，在正方形ABCD中，點E為CD的中點，過點D作AE的垂線，垂足為F與AC、BC分別交于點G，點H，則= ．

（2）類比探究；如圖2，在矩形ABCD中，，點E為CD的中點，過點D作AE的垂線，垂足為F，與AC、BC分別交于點G，點H，試探究的值，并寫出推理過程．

Answer 1

【答案】(1)2；(2)，理由詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據正方形性質證明△ADE≌△DCH，得CH=DE，設DE=x，根據AD∥CH得比例式得結論；

（2）設AD=3x，DC=4x，證明△ADE∽△DCH，表示出CH的長，利用AD∥BC列比例式代入求解．

試題解析：（1）如圖1，設DE=x，則DC=2x，AD=2x，

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∵DC=AD，∠ADC=∠DCH=90°，

∴△ADE≌△DCH，

∴CH=DE=x，

∵AD∥CH，

∴△ADG∽△CHG，

∴=2.

故答案為：2；

（2）如圖2，設AD=3x，DC=4x，則DE=2x，

∵∠HDC+∠ADH=90°，∠ADH+∠DAE=90°，

∴∠HDC=∠DAE，

∵∠ADC=∠DCB=90°，

∴△ADE∽△DCH，

∴，

∴，

∴CH=，

∵AD∥BC，

∴△ADG∽△CHG，

∴==．