Question

【題目】如圖，一次函數的圖像與二次函數的圖像交于、兩點，點在軸上，點的橫坐標為4．

（1）________，________；

（2）設二次函數的圖像與軸交于點，與軸的另一個交點為，連接、，求的正弦值；

（3）①若點在軸下方二次函數圖像上，過點作軸平行線交直線于點，以點為圓心，的長為半徑畫圓，求在直線上截得的弦長的最大值．

②若∠ABM=∠ACO，則點M的坐標為_________

Answer 1

【答案】（1）；－3；（2）；（3）①在直線上截得的弦長的最大值等于最大值的2倍，等于．②

【解析】

（1）根據條件，易求點A、B的坐標，將其代入二次函數中，得到關于b，c的方程組求解即可.

（2）作于F，易知，從而得到，分別用勾股定理和銳角三角函數求出AC，AF的長，在直角三角形ACF中，利用銳角三角函數定義即可求得的正弦值.

（3）①作于，易知，故，得到，即，設，則有，轉化成二次函數的最值問題即可求得ET的最大值，進而求得在直線上截得的弦長的最大值；

②關鍵是利用勾股定理求得AP=的值，得到故點，再求出直線PB的解析式，進而利用相交法求得點M坐標．

解：（1）一次函數解析式，當x=4是，y=3，∴B(4，3)；

當y=0時，x=-2，∴A(-2,0)，又點A、B在二次函數的圖像上，

∴，解得，

故答案為：，－3

（2）對于，令，則，∴

令，得，解得：，，∴，

∴，

∴

作于F，∵，

∴，

∵

∴，

∴的正弦值為．

（3）①作于，

設一次函數的圖像與軸交于點，則

∵，∴，∴，

∵軸，∴，∴，

∴，∴，

設，則

∴

∴

∴當時，的最大值等于，

∴在直線上截得的弦長的最大值等于最大值的2倍，等于．

如圖3，設直線AB交y軸于點H（0，1），直線BM交x軸于點P，過點P作PQ⊥AB于點Q，

由直線AB的表達式知tan ∠BAO=，則

在Rt△AQD中,tan∠QAD=tan ∠BAO==
在Rt△AOC中，tan∠ACO=，

又∵∠ABM=∠ACO

tan∠ABM=tan∠ACO=，
設PQ=2x，則QB=3x，AQ=4x，

則 解得：

又，

故點

由點B，P的坐標得，直線PB的表達式為，令①，

聯立①②得：

解得：或（與B重合，舍去），將x=代入得y=

故點，

故答案為：