Question

【題目】若一個函數當自變量在不同范圍內取值時，函數表達式不同，我們稱這樣的函數為分段函數，下面我們參照學習函數的過程與方法，探究分段函數y＝的圖象與性質，探究過程如下，請補充完整．

（1）列表：

x	…	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	…
y	…	3	m	1	0	1	2	1	n		…

其中，m＝　 ，n＝　 　．

（2）描點：在平面直角坐標系中，以自變量x的取值為橫坐標，以相應的函數值y為縱坐標，描出相應的點，如圖所示，請畫出函數的圖象．

（3）研究函數并結合圖象與表格，回答下列問題：

①點A（，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函數圖象上，則y1　 y2，x1　 x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）

②當函數值y＝1時，求自變量x的值；

（4）若直線y＝﹣x+b與函數圖象有且只有一個交點，請直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2，；（2）如圖所示，見解析；（3）①＞，＞；②x＝0或x＝﹣2或x＝2；（4）﹣1＜b＜2或b＞3．

【解析】

（1）將x=﹣3代入y＝|x+1|得m的值；將x＝3代入y＝中得n的值；

（2）用平滑的曲線連接坐標系中描的點可得；

（3）A與B在y＝上，C與D在y＝|x﹣1|上，分別根據函數增減性判斷；

（4）如下圖，求解出直線y＝﹣x+b與函數圖象有一個交點的臨界點，從而得出b的取值范圍．

（1）x＝﹣3代入y＝|x+1|得，y＝2，

∴m＝2，

把x＝3代入y＝中得，y＝，

∴n＝，

故答案為2，；

（2）如圖所示：

（3）由圖象可知A與B在y＝上，y隨x的增大而減小，所以y1＞y2；

C與D在y＝|x﹣1|上，所以x1＞x2；

故答案為＞，＞；

②當y＝1時，x≤1時，有1＝|x+1|，

∴x＝0或x＝﹣2，

當y＝1時，x＞1時，有1＝，

∴x＝2，

故x＝0或x＝﹣2或x＝2；

（4）∵函數解析式為：y＝，圖像如下

當直線y＝﹣x+b在向右平移的過程中，如下圖，與函數的交點個數是在變化的：

由圖形可知，當直線向右平移過程中，直線與函數交點個數為：①0個，②然后變為1個，③然后變為2個，④然后又變為1個

我們分別求出①②、②③、③④之間的臨界點即可

有圖形可知，①②之間的臨界點為：x=－1

我們求出直線與函數有2個交點的情況：

聯立解析式得：

當△＞0時，即直線與函數有兩個個交點

△＞

解得b＞2或b＜－2

故而﹣1＜b＜2時，直線與含有有且僅有一個交點

還存在一種情況：如下圖

由上面分析可知當b＞2時，直線是與函數有2個交點的

但是反比例函數的取值范圍為x＞1的部分

∴如上圖，反比例函數是點A(1，2)右側的部分

∴當直線y=－x+b從A點繼續向右平移時，直線與反比例函數僅有一個交點

將點A代入直線得：2=－1+b，解得：b=3

∴當b＞3時，直線與函數也僅有一個交點

綜上得，﹣1＜b＜2或b＞3．