Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c經過原點（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線與x軸的另一個交點為C，以OC為直徑作⊙M，如果過拋物線上一點P作⊙M的切線PD，切點為D，且與y軸的正半軸交點為E，連接MD，已知E點的坐標為（0，m），求四邊形EOMD的面積（用含m的代數式表示）；
（3）延長DM交⊙M于點N，連接ON，OD，當點P在（2）的條件下運動到什么位置時，能使得四邊形EOMD和△DON的面積相等，請求出此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）將O、A、B三點坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值，從而確定拋物線的解析式；
（2）連接EM；由于ED、EO都是⊙M的切線，根據切線長定理可得到ED=EO，根據SSS可證得△EDM≌△EOM，則它們的面積相等，因此四邊形EOMD的面積其實是△EOM的面積的2倍，以OM為底，OE為長可求出△EOM的面積，即可得到四邊形EOMD的面積表達式；
（3）△DON中，MN=DM，所以△DMO和△OMN等底同高，它們的面積相等；由此可證得△EOM與△OMD的面積相等，由于這兩個三角形共用底邊OM，則ED∥x軸，根據⊙M的半徑即得到直線PD的解析式，聯立拋物線的解析式即可求出P點的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線過O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）三點，
∴

c=0 a+b+c=-3 a-b+c=5

，
解得

a=1 b=-4 c=0

；
∴拋物線的解析式為y=x²-4x；

（2）拋物線y=x²-4x與x軸的另一個交點坐標為C（4，0），連接EM；
∴⊙M的半徑為2，即OM=DM=2；
∵ED、EO都是⊙M的切線，
∴EO=ED，△EOM≌△EDM；
∴S_{四邊形EOMD}=2S_△OME=2×

1

2

OM•OE=2m；

（3）延長DM交⊙M于點N，連接ON，OD，EM，
設點D的坐標為（x₀，y₀），
∵S_△DON=2S_△DOM=2×

1

2

OM×y₀=2y₀，
當S_{四邊形EOMD}=S_△DON時，即2m=2y₀，m=y₀；
∵m=y₀，ED∥x軸，
又∵ED為切線，
∴D點的坐標為（2，2）；
∵P在直線ED上，故設P點的坐標為（x，2），
∵P在拋物線上，
∴2=x²-4x，
解得x=2±

6

；
∴P（2+

6

，2）或P（2-

6

，2）為所求．

點評：此題是二次函數與圓的綜合題，考查了二次函數解析式的確定、全等三角形的性質、切線長定理、函數圖象交點及圖形面積的求法等重要知識，能夠發現△EOM、△OMD的面積關系，從而得到直線PD與x軸的位置關系是解答（3）題的關鍵．