Question

【題目】如圖，已知等邊三角形中，點，，分別為各邊中點，為直線上一動點，為等邊三角形（點的位置改變時，也隨之整體移動）.

（1）如圖1，當點在點左側時，請判斷與有怎樣的數量關系？請直接寫出結論，不必證明或說明理由；

（2）如圖2，當點在上時，其它條件不變，（1）的結論中與的數量關系是否仍然成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；

（3）若點在點右側時，請你在圖3中畫出相應的圖形，并判斷（1）的結論中與的數量關系是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論，不必證明或說明理由.（提示：連接、、.可證、、、均為等邊三角形）.

Answer 1

【答案】（1），（2）成立證明見解析；（3）結論仍成立.

【解析】

（1）連接DE，DF，得出△DFE是等邊三角形，那么∠DEF=∠DFM=60°，DE=DF，再利用SAS證明△MDF和△EDN全等，由此可得出EN=MF．
（2）（3）證法同（1）都要證明△MDF和△EDN全等，證明過程中都要作出三角形的三條中位線，然后根據三條中位線分成的小等邊三角形的邊和角相等來得出兩三角形全等的條件，因此結論仍然成立．

解：（1）EN=MF.理由如下：連接DE,DF,

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三邊的中點，∴EF=DF=BF.

∴∠DEF=∠DFM=60°，

又△MDN為等邊三角形，∴∠MDN=60°，

∠MDN+∠NDF=∠FDE+∠NDF,

∴∠MDF=∠NDE,

在△EDN和△MDF中，

∴△EDN≌△MDF（SAS）,

∴EN=MF.

（2）如圖②，EN=MF仍然成立.證明如下：連接DF，NF，

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三邊的中點，∴EF=DF=BF．
∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN，
在△DBM和△DFN中，

∴△DBM≌△DFN，
∴BM=FN，∠DFN=∠FDB=60°，
∴NF∥BD，
∵E，F分別為邊AC，BC的中點，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BD，
∴F在直線NE上，
∵BF=EF，
∴MF=EN．
（3）如圖③，MF=NE的結論仍然成立．
連接DF、DE，

由（2）知DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，
在△DNE和△DMF中，

∴△DNE≌△DMF，
∴MF=NE．