Question

【題目】在平面直角坐標系中，A（a，0），C（0，c）且滿足：，長方形ABCO在坐標系中（如圖1），點O為坐標系的原點．

（1）求點B的坐標．

（2）如圖2，若點M從點A出發，以2個單位/秒的速度向右運動（不超過點O），點N從原點O出發，以1個單位/秒的速度向下運動（不超過點C），設M、N兩點同時出發，在它們運動的過程中，四邊形MBNO的面積是否發生變化？若不變，求其值；若變化，求變化的范圍．

（3）如圖3，E為x軸負半軸上一點，且∠CBE＝∠CEB，F是x軸正半軸上一動點，∠ECF的平分線CD交BE的延長線于點D，在點F運動的過程中，請探究∠CFE與∠D的數量關系，并說明理由

Answer 1

【答案】（1）B（-6，-3）；（2）四邊形MBNO的面積與t無關，在運動過程中面積不變，為定值9；（3），理由詳見解析.

【解析】

（1）根據題意可得a=-6，c=-3，則可求A點，C點，B點坐標；

（2）設M、N同時出發的時間為t，則S四邊形MBNO=S長方形OABC-S△ABM-S△BCN=18-×2t×3-×6×（3-t）=9．與時間無關．即面積是定值，其值為9；

（3）根據三角形內角和定理和三角形外角等于不相鄰的兩個內角的和，可求∠CFE與∠D的數量關系.

解：解：（1）∵0,

∴a=-6，c=-3

∴A（-6，0），C（0，-3）

∵四邊形OABC是長方形

∴AO∥BC，AB∥OC，AB=OC=3，AO=BC=6

∴B（-6，-3）；

（2）四邊形MBNO的面積不變．

設M、N同時出發的時間為t，

S四邊形MBNO=S長方形OABC-S△ABM-S△BCN=18-×2t×3-×6×（3-t）=9，與時間無關．即面積是定值，其值為9；

（3）∠CFE=2∠D．

理由如下：如圖，

∵∠CBE=∠CEB，

∴∠ECB=180°-2∠BEC，

∵CD平分∠ECF，

∴∠DCE=∠DCF，

∵AF∥BC，

∴∠CFE=180°-∠DCF-∠DCE-∠BCE=180°-2∠DCE-（180°-2∠BEC），

∴∠CFE=2∠BEC-2∠DCE，

∵∠BEC=∠D+∠DCE，

∴∠CFE=2（∠D+∠DCE）-2∠DCE，

∴∠CFE=2∠D.