Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經過點D，交BC于點E．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若OB=10，CD=8，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵BD為∠ABC平分線，

∴∠1=∠2，

∵OB=OD，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OD∥BC，

∵∠C=90°，

∴∠ODA=90°，

則AC為圓O的切線

（2）解：過O作OG⊥BC，連接OE，

∴四邊形ODCG為矩形，

∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，

在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，

∵OG⊥BE，OB=OE，

∴BE=2BG=12．

解得：BE=12．

【解析】（1）連接OD，由BD為角平分線得到一對角相等，根據OB=OD，等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，進而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直徑，即可得證；（2）過O作OG垂直于BE，可得出四邊形ODCG為矩形，在直角三角形OBG中，利用勾股定理求出BG的長，由垂徑定理可得BE=2BG．