Question

【題目】已知AB是⊙O的弦，點P是優弧AB上的一個動點，連接AP，過點A作AP的垂線，交PB的延長線于點C．

(1)如圖1，AC與⊙O相交于點D，過點D作⊙O的切線，交PC于點E，若DE∥AB，求證：PA=PB；

(2)如圖2，已知⊙O的半徑為2，AB=2．

①當點P在優弧AB上運動時，∠C的度數為　 　°；

②當點P在優弧AB上運動時，△ABP的面積隨之變化，求△ABP面積的最大值；

③當點P在優弧AB上運動時，△ABC的面積隨之變化，△ABC的面積的最大值為　 　．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①30；②3；③6+3．

【解析】

（1）根據90°的圓周角所對的弦是直徑可得PD是直徑，結合DE是切線，DE∥AB，可得AB⊥PD，利用垂徑定理可證．

（2）①只要求出∠AOB的度數，便可知∠APC的度數，利用∠C和∠APC互余的關系可得∠C度數；②分析后可以發現：PD⊥AB時面積最大；③利用∠C的數值不變可知點C在AB為弦的同一個圓上運動，進而找到C點在何處可使得△ABC面積最大，從而求值．

（1）如圖1，連接DP交AB于點F．

∵CA⊥AP，∴DP是⊙O的直徑．

∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥DP．

又∵DE∥AB，∴AB⊥DP，∴DP垂直平分AB（垂徑定理），∴PA＝PB；

（2）①連接OA、OB，由（1）知，DP垂直平分AB．

∵AB＝2，∴AF＝BF．

∵⊙O的半徑是2，∴OA＝OB＝2，∴sin∠AOF，∴∠AOF＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠APB∠AOB＝60°．

∵CA⊥AP，∴∠C+∠APB＝90°，∴∠C＝30°；

②當點P在優弧AB上運動時，△ABP的面積由點P到AB的距離決定．

根據圖形的性質可知：如圖2，當點P運動到PD⊥AB時，PF即是最大距離．

∵OA＝2，PD⊥AB，∠AOF＝60°，∴OF＝1，∴PF＝OF+OP＝1+2＝3，∴△ABP的面積最大值是：ABPF3＝3；

③由①知在變化過程中∠ACB＝30°恒成立，∴點C在以AB為弦的某個圓上運動，設這個圓的圓心為H，如圖3所示．

連接AH、BH，∴∠AHB＝2∠ACB＝60°．

∵AH＝BH，∴△ABH是等邊三角形．

∵AB＝2，∴⊙H的半徑HA＝2，作CG⊥AB，顯然，當C點運動到CG經過圓心H時△ABC面積最大．

此時，CG＝CH+HG，CH＝2．

∵HG⊥AB，AB＝2，∴HG＝AHsin60°＝3，∴CG＝23，∴△ABC面積最大值是：

ABCG（23）＝6+3．