Question

如圖，點O是線段AB上的一點，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于點D，OF平分∠COB，CF⊥OF于點F．
（1）求證：四邊形CDOF是矩形；
（2）當∠AOC多少度時，四邊形CDOF是正方形？并說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析（2）當∠AOC=90°時，四邊形CDOF是正方形，理由見解析

（1）證明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），
∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF。
∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠COD+2∠COF=180°。∴∠COD+∠COF=90°。
∴∠DOF=90°。
∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知）。
∴OD⊥AC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性質）。∴∠CDO=90°。
∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°。
∴四邊形CDOF是矩形。
（2）解：當∠AOC=90°時，四邊形CDOF是正方形。理由如下：
∵∠AOC=90°，AD=DC，∴OD=DC。
又由（1）知四邊形CDOF是矩形，則四邊形CDOF是正方形。
因此，當∠AOC=90°時，四邊形CDOF是正方形。
（1）利用角平分線的性質、平角的定義可以求得∠DOF=90°；由等腰三角形的“三合一”的性質可推知OD⊥AC，即∠CDO=90°；根據已知條件“CF⊥OF”知∠CFO=90°；則三個角都是直角的四邊形是矩形。
（2）當∠AOC=90°時，四邊形CDOF是正方形；因為Rt△AOC的斜邊上的中線OD等于斜邊的一半，所以矩形的鄰邊OD=CD，所以矩形CDOF是正方形。