Question

已知：如圖，內接于⊙O, 為⊙O的直徑，, 點是上一個動點，連結、和, 與相交于點, 過點作于, 與相交于點,連結和.
 
(1) 求證：;
（2）如圖1，若， 求證：；
（3) 如圖2，設 , 四邊形的面積為,求與之間的關系式.

Answer 1

(1) 證明: ∵, 為的直徑
∴
∵，
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴ 
∴≌
∴  
(2)證明：∵
∴ 
∴
∴
∴是的中點
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴∥ 
（3）解：
= （）

（1）根據PC與CD垂直，由垂直定義得到∠PCD為直角，又AB為圓的直徑，由直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB與∠ADB也為直角，根據同角的余角相等得到∠ACD與∠BCP相等，又AC=BC得到三角形ABC為等腰直角三角形，進而得到∠CAB=45°，根據同弧所對的圓周角相等得到∠CDP=45°，即三角形DCP為等腰直角三角形，所以CD=CP，利用”SAS“即可得到三角形ACD與三角形BCP全等，根據全等三角形的對應邊相等得到AD=PB；
（2）根據同弧所對的圓周角相等得到∠ABD=∠ACD，則tan∠ACD=tan=∠ABD，在直角三角形ABD中，由正切函數定義得到AD等于BD的一半，由（1）得到AD=PB代入比例式得到P為BD中點，即AP為直角三角形ABD斜邊上的中線，則AP=DP，所以三角形ADP為等腰直角三角形，所以∠APD=45°，又∠CDP=45°，得到一對內錯角相等，從而得到兩直線平行，得證；
（2）（3）四邊形APBC的面積可以分為三角形ACD和三角形APC的面積之和，而三角形ACD與三角形BCP全等，故四邊形的面積可以等于三角形BCP和三角形APC的面積之和，即三角形ABC的面積減去三角形ABP的面積，而P為BD中點，根據等底同高得到三角形ABP的面積與三角形ADP的面積相等，從而得到四邊形的面積等于三角形ABC的面積減去三角形ADP的面積，然后由這兩個三角形都為等腰直角三角形且直角邊分別為5和x，利用三角形的面積公式即可表示出y與x的函數關系式，同時求出自變量x的范圍．