Question

30、在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分線，點E和點F分別在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F（如圖（1）），則可以得到以下兩個結論：
①∠AED+∠AFD=180°；②DE=DF．
那么在△ABC中，仍然有條件“AD是∠BAC的角平分線，點E和點，分別在AB和AC上”，請探究以下兩個問題：
（1）若∠AED+∠AFD=180°（如圖（2）），則DE與DF是否仍相等？若仍相等，請證明；否則請舉出反例．
（2）若DE=DF，則∠AED+∠AFD=180°是否成立？（只寫出結論，不證明）

Answer 1

分析：（1）過點D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DM=DN，再根據∠AED+∠AFD=180°，平角的定義得∠AFD+∠DFN=180°，可以推出∠DFN=∠AED，然后利用角角邊定理證明△DME與△DNF全等，根據全等三角形對應邊相等即可證明；
（2）不一定成立，若DE、DF在點D到角的兩邊的垂線段上或垂線段與點A的兩側，則成立，若是同側則不成立．

解答：（1）解：DE=DF．
理由如下：
過點D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠AED+∠AFD=180°，∠AFD+∠DFN=180°，
∴∠DFN=∠AED，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴DE=DF；

（2）解：不一定成立．
如圖，若DE、DF在點D到角的兩邊的垂線段與頂點A的同側則一定不成立，
經過（1）的證明，若在垂線段上或兩側則成立，
所以不一定成立．

點評：本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，從題目提供信息找出求證的思路是解題的關鍵，讀懂題目信息比較重要．