Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（6，0），點B的坐標為（0，2），點M從點A出發沿x軸負方向以每秒3cm的速度移動，同時點N從原點出發沿y軸正方向以每秒1cm的速度移動．設移動的時間為t秒．

　　　

（1）若點M在線段OA上，試問當t為何值時，△ABO與以點O、M、N為頂點的三角形相似？

（2）若直線y=x與△OMN外接圓的另一個交點是點C．

①試說明：當0<t<2時，OM、ON、OC在移動過程滿足OM+ON=OC；

②試探究：當t>2時，OM、ON、OC之間的數量關系是否發生變化，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當t為1或1.8時，△ABO與以點O、M、N為頂點的三角形相似；（2）①說明見解析；②ON-OM=OC，理由見解析．

【解析】

(1)根據題意先把OA、OB的值算出來，再根據相似三角形的性質列出等量關系式，即可把時間t算出來.

(2) ①在ON的延長線的截取ND=OM，證CN=CM并且△CND≌△CMO，接著把∠COD的度數算出來，即可證明OM+ON=OC；

②先證△CDO為等腰直角三角形，再證明△CDN≌△COM即可得到.

（1）由題意，得OA=6，OB=2．

當0<t<2時，OM=6-3t，ON=t．

若△ABO∽△MNO，則，即．解得t=1．

若△ABO∽△NMO，則，即．解得t=1.8．

綜上，當t為1或1.8時，△ABO與以點O、M、N為頂點的三角形相似．

（2）①當0＜t＜2時，在ON的延長線的截取ND=OM．

∵直線y=x與x軸的夾角為，∴OC平分∠AOB．

∴∠AOC=∠BOB．

∴．

∴CN=CM．

又∵ 在⊙O中∠CNO+∠CMO=180°，∠DNC+∠CNO=180°，

∴∠CND=∠CMO．

∴△CND≌△CMO．

∴CD=CO，∠DCN=∠OCM．

又∵∠AOB=90°，∴MN為⊙O的直徑．

∴∠MCN=90°．

∴∠OCM+∠OCN=90°．

∴∠DCN+∠OCN=90°．

∴∠OCD=90°,

又∵CD=CO，∴OD=OC．

∴ON+ND=OC,

∴OM+ON=OC．

②當 t >2時，ON-OM=OC．

過點C作CD⊥OC交ON于點D．

∵∠COD=45°，

∴△CDO為等腰直角三角形，

∴OD=OC，

連接MC，NC，

∵MN為⊙O的直徑，∴∠MCN=90°，

又∵在⊙O中，∠CMN=∠CNM=45°，∴MC=NC，

又∵∠OCD=∠MCN=90°，∴∠DCN=∠OCM，

∴△CDN≌△COM．∴DN=OM，

又∵OD=OC．，∴ON-DN=OC，

∴ON-OM=OC．