Question

在平面直角坐標系xoy中，等腰三角形ABC的三個頂點A(0，1)，點B在x軸的正半軸上，∠ABO=30°，點C在y軸上．

（1）直接寫出點C的坐標為                    ；
（2）點P關于直線AB的對稱點P′在x軸上，AP=1，在圖中標出點P的位置并說明理由；
（3）在（2）的條件下，在y軸上找到一點M，使PM+BM的值最小，則這個最小值為         ．

Answer 1

(1)（0，3）或（0，-1）；（2）理由見解析；（3）.

試題分析：（1）先確定A的位置，再作出△AOB，就可以求出AB=2，OB=，在y軸上符合條件的有兩點C1和C2，求出即可；
（2）根據AP=AO=1，得出P的對稱點是O點，求出OC，即可得出OP，解直角三角形求出PQ和OQ即可；
（3）作出B關于y軸的對稱點，連接PB′即可得出M點的位置，求出PB′長即可．
試題解析:（1）符合條件的有兩點，以A為圓心，以AB為半徑畫弧，交y軸于C₁、C₂點，

∵A（0，1），
∴OA=1，
∵在Rt△AOB中，OA=1，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=2，OB=，
即AC₁=AC₂=2，
∴OC₁=1+2=3，OC₂=2-1=2，
∴C的坐標是（0，3）或（0，-1），
（2）P的坐標是（， ），
理由是：過P作PQ⊥x軸于Q，
∵OA=1，AP=1，AO⊥x軸，
∴x軸和以A為圓心，以1為半徑的圓相切，
∵AP=1，
∴P在圓上，
∵點P關于直線AB的對稱點P′在x軸上，AP=1，
∴P′點和O重合，如圖：

∵P和P′關于直線AB對稱，
∴PP′⊥AB，PC=P′C，
由三角形面積公式得：S_△AOB=AO×OB=AB×CO，
∴×1=2OC，
∴OC=，
∴PP′=2OC=，
∵∠ABO=30°，∠OCB=90°，
∴∠POB=60°，
∴PQ=OP×sin60°= ，OQ=OP×cos60°=，
即P的坐標是（，）；
（3）作B關于y軸的對稱點B′，連接PB′交y軸于M，則M為所求，

∵OB=，
∴OB′=，
即BB′=2，
∵PQ=，
∴由勾股定理得：PB′=，
∴PM+BM=PM+B′M=PB′=．
考點: 1.軸對稱-最短路線問題；2.坐標與圖形性質；3.等腰三角形的性質.