Question

如圖是某種圓形裝置的示意圖，圓形裝置中，⊙O的直徑AB=5，AB的不同側有定點C和動點P，tan∠CAB=

4

3

．其運動過程是：點P在弧AB上滑動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q．
（1）當PC=______時，CQ與⊙O相切；此時CQ=______．
（2）當點P運動到與點C關于AB對稱時，求CQ的長；
（3）當點P運動到弧AB的中點時，求CQ的長．

Answer 1

（1）當CP過圓心O，即CP為圓O的直徑時，CQ與⊙O相切，理由為：
∵PC⊥CQ，PC為圓O的直徑，
∴CQ為圓O的切線，
此時PC=5；
∵∠CAB=∠CPQ，
∴tan∠CAB=tan∠CPQ=

4

3

，
∴tan∠CPQ=

CQ

CP

=

CQ

5

=

4

3

，
則CQ=

20

3

；
故答案為：5；

20

3

；
（2）當點P運動到與點C關于AB對稱時，如圖1所示，此時CP⊥AB于D，

又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，
∵AB=5，tan∠CAB=

4

3

，
∴BC=4，AC=3，
又∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD，
∴AC•BC=AB•CD，即3×4=5CD，
∴CD=

12

5

，
∴PC=2CD=

24

5

，
在Rt△PCQ中，∠PCQ=90°，∠CPQ=∠CAB，
∴CQ=PCtan∠CPQ=

4

3

PC，
∴CQ=

4

3

×

24

5

=

32

5

；
（3）當點P運動到弧AB的中點時，如圖2所示，過點B作BE⊥PC于點E，

∵P是弧AB的中點，∠PCB=45°，
∴CE=BE=2

2

，
又∠CPB=∠CAB，
∴tan∠CPB=tan∠CAB=

BE

PE

=

4

3

，
∴PE=

BE

tan∠CPB

=

3

4

BE=

3 2

2

，
∴PC=CE+PE=2

2

+

3 2

2

=

7 2

2

，
由（2）得，CQ=

4

3

PC=

14 2

3

．