Question

如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC為弦，OC=4，∠OAC=60°.

（1）求∠AOC的度數；
（2）在圖（1）中，P為直徑BA的延長線上一點，且，求證：PC為⊙O的切線.
（3）如圖（2），一動點M從A點出發，在⊙O上按逆時針方向運動一周（點M不與點C重合），當時，求動點M所經過的弧長.

Answer 1

（1）60°; （2）證明見解析; （3）或或或.

試題分析：（1）由OA、OC都是⊙O的半徑知，△AOC是等腰三角形，然后根據等邊三角形的判定和性質求得∠AOC =60°；
（2）由求出PA的長，從而得出∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO，根據等邊對等角和三角形內角和定理可得∠PCO=90⁰，進而證得結論;
（3）如圖，當S_△MAO=S_△CAO時，動點M的位置有四種:①作點C關于直徑AB的對稱點M₁，連接AM₁，OM₁,②過點M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于點M₂，連接AM₂，OM₂，③過點C作CM₃∥AB交⊙O于點M₃，連接AM₃，OM₃，④當點M運動到C時，M與C重合，求得每種情況的OM轉過的度數，再根據弧長公式求得弧AM的長．
試題解析：（1）在△OAC中，∵OA=OC（⊙O的半徑），∠OAC=60°，∴∠OAC=∠OCA（等邊對等角）.
又∵∠OAC=60°，∴△AOC是等邊三角形. ∴∠AOC=60°.
（2）如圖,作PA邊上的高CE,
∵△AOC是等邊三角形, OC=4，∴CE=.
∵，∴. ∴.∴PA="AC=AO=4." ∴∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO.
∴∠PCO=90⁰.
又∵OC是⊙O的半徑，∴PC為⊙O的切線.

（3）如圖，
①作點C關于直徑AB的對稱點M₁，連接AM₁，OM₁．
此時S_△M1AO=S_△CAO，∠AOM₁=60°.∴弧AM₁=.
∴當點M運動到M₁時，S_△MAO=S_△CAO，此時點M經過的弧長為.
②過點M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于點M₂，連接AM₂，OM₂，
此時S_△M2AO=S_△CAO．∴∠AOM₁=∠M₁OM₂=∠BOM₂=60°.∴弧AM₂=.
∴當點M運動到M₂時，S_△MAO=S_△CAO，此時點M經過的弧長為．
③過點C作CM₃∥AB交⊙O于點M₃，連接AM₃，OM₃，
此時S_△M3AO=S_△CAO, ∴∠BOM₃=60°.∴弧AM₃=.
∴當點M運動到M₃時，S_△MAO=S_△CAO，此時點M經過的弧長為.
點M運動到C時，M與C重合，S_△MAO=S_△CAO，
此時點M經過的弧長為.