Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣2，0），點B（4，0），點D（2，4），與y軸交于點C，作直線BC，連接AC，CD．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）E是拋物線上的點，求滿足∠ECD=∠ACO的點E的坐標；

（3）點M在y軸上且位于點C上方，點N在直線BC上，點P為第一象限內拋物線上一點，若以點C，M，N，P為頂點的四邊形是菱形，求菱形的邊長．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）點E的坐標為（1，），（3，）；（3）菱形的邊長為4﹣4．

【解析】

試題分析：（1）把點A（﹣2，0），點B（4，0），點D（2，4）代入y=ax2+bx+c，用待定系數法求出拋物線解析式即可．（2）分點E在直線CD上方的拋物線上和點E在直線CD下方的拋物線上兩種情況，用三角函數求解即可；（3）分CM為菱形的邊和CM為菱形的對角線兩種情況，用菱形的性質進行計算即可.

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣2，0），點B（4，0），點D（2，4），

∴設拋物線解析式為y=a（x+2）（x﹣4），

∴﹣8a=4，

∴a=﹣，

∴拋物線解析式為y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4；

（2）如圖1，

①點E在直線CD上方的拋物線上，記E′，

連接CE′，過E′作E′F′⊥CD，垂足為F′，

由（1）知，OC=4，

∵∠ACO=∠E′CF′，

∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，

∴=，

設線段E′F′=h，則CF′=2h，

∴點E′（2h，h+4）

∵點E′在拋物線上，

∴﹣（2h）2+2h+4=h+4，

∴h=0（舍）h=

∴E′（1，），

②點E在直線CD下方的拋物線上，記E，

同①的方法得，E（3，），

點E的坐標為（1，），（3，）

（3）①CM為菱形的邊，如圖2，

在第一象限內取點P′，過點

P′作P′N′∥y軸，交BC于N′，過點P′作P′M′∥BC，

交y軸于M′，

∴四邊形CM′P′N′是平行四邊形，

∵四邊形CM′P′N′是菱形，

∴P′M′=P′N′，

過點P′作P′Q′⊥y軸，垂足為Q′，

∵OC=OB，∠BOC=90°，

∴∠OCB=45°，

∴∠P′M′C=45°，

設點P′（m，﹣m2+m+4），

在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，

∵B（4，0），C（0，4），

∴直線BC的解析式為y=﹣x+4，

∵P′N′∥y軸，

∴N′（m，﹣m+4），

∴P′N′=﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，

∴m=﹣m2+2m，

∴m=0（舍）或m=4﹣2，

菱形CM′P′N′的邊長為（4﹣2）=4﹣4．

②CM為菱形的對角線，如圖3，

在第一象限內拋物線上取點P，過點P作PM∥BC，

交y軸于點M，連接CP，過點M作MN∥CP，交BC于N，

∴四邊形CPMN是平行四邊形，連接PN交CM于點Q，

∵四邊形CPMN是菱形，

∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，

∵∠OCB=45°，

∴∠NCQ=45°，

∴∠PCQ=45°，

∴∠CPQ=∠PCQ=45°，

∴PQ=CQ，

設點P（n，﹣n2+n+4），

∴CQ=n，OQ=n+2，

∴n+4=﹣n2+n+4，

∴n=0（舍），

∴此種情況不存在．

∴菱形的邊長為4﹣4．