Question

【題目】將直角邊長為的等腰直角放在平面直角坐標系中，點為坐標原點，點、分別在軸，軸的正半軸上，一條拋物線經過點、及點．

求該拋物線的解析式；

若點是線段上一動點，過點作的平行線交于點，連接，當的面積最大時，求點的坐標；

若點在拋物線上，則稱點為拋物線的不動點，將中的拋物線進行平移，平移后，該拋物線只有一個不動點，且頂點在直線上，求此時拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】； ；

【解析】

（1）已知拋物線與x軸的兩個交點坐標，所以設拋物線方程為兩點式：y=a（x+3）（x﹣6），然后把點A的坐標代入該函數解析式即可求得系數a的值；

（2）利用相似三角形的性質得出S△PCE=，進而求出△APE的面積S，即可得出點P坐標；

（3）利用拋物線上不動點的定義以及不動點的個數得出方程h﹣k=①，再用平移后的拋物線的頂點在直線y=2x﹣上，得出方程k=2h﹣②，聯立解方程組即可．

（1）∵B（﹣3，0），C（6，0），設拋物線為y=a（x+3）（x﹣6）．

∵拋物線過A（0，6），∴6=a（0+3）（0﹣6），解得：a=﹣，∴y=﹣（x+3）（x﹣6），即y=﹣x2+x+6；

（2）設P（m，0），如圖，∵PE∥AB，∴△PCE∽△BCA，∴，∴S△PCE=，∴S=S△APC﹣S△PCE==﹣m2+m+6=﹣（m﹣）2+，∴當m=時，S有最大值為，∴P（，0）；

（3）設平移后的拋物線的頂點為G（h，k），∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣h）2+k，由拋物線的不動點的定義，得：t=﹣（t﹣h）2+k，即：t2+（3﹣2h）t+h2﹣3k=0．

∵平移后，拋物線只有一個不動點，∴此方程有兩個相等的實數根，∴△=（3﹣2h）2﹣4（h2﹣3k）=0，∴h﹣k=①．

∵頂點在直線y=2x﹣上，∴k=2h﹣②，∴聯立①②得：h=1，k=，∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+=﹣x2+x﹣．