Question

【題目】已知菱形的邊長為，=120°，對角線相交于點，以點為坐標原點，分別以所在直線為軸、軸，建立如圖所示的直角坐標系，以為對角線作菱形菱形，再以為對角線作菱形菱形，再以為對角線作菱形菱形，…，按此規律繼續做下去，設菱形的面積為，菱形的面積為，…，菱形的面積為，則_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根據菱形的性質及銳角三角函數的定義求出OA1，OB1的長，從而可求出S1，根據相似及銳角三角函數的定義可求得OA2，OB2的長，從而可得出S2，…，找出規律即可得出結論．

解：∵菱形A1B1C1D1的邊長為2，∠A1B1C1=120°，

∴∠A1B1O=60°，∠A1OC1=90°，
∴OA1=A1B1sin60°=2×=，OB1=A1B1cos60°=2×1，

∴A1C1=2OA1=2，B1D1=2OB1=2，

∴S1=×A1C1×B1D1=．
∵菱形A1B1C1D1∽菱形B2C1D2A1∽菱形，

∴∠A2B2C2=∠B2A1D2=∠A1B1C1=120°，

∴OB2=，

∴OA2=OB2×tan60°=3，B2D2=2OB2=6，

∴A2C2=2OA2=6，

∴S2=×A2C2×B2D2==2×9，

同理可得，

S3=×A3C3×B3D3=，

S4=×A4C4×B4D4=，

…
∴Sn=．

故答案為：．