Question

【題目】如圖，拋物線W的圖象與x軸交于A、O兩點，頂點為點B（﹣1，﹣1）．

（1）求拋物線W的表達式；

（2）將拋物線W繞點A旋轉180°得到拋物線V，使拋物線V的頂點為E，試通過計算判斷拋物線V是否過點B；

（3）在拋物線W或V的圖象上是否存在點D，使S△EBD＝S△EBO？若存在，請求出點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x+1）2﹣1；（2）拋物線V是不經過點B；（3）在拋物線W或V的圖象上存在點D，使S△EBD＝S△EBO，D的坐標為（﹣3，3）或（﹣4，0）或（﹣1，﹣3）．

【解析】

（1）把拋物線的解析式設成頂點式，代入原點坐標，便可求得解；

（2）根據對稱性質求得E點坐標，再根據變化后的拋物線的形狀和大小與原拋物線相同，開口方向相反，得新拋物線的解析式的二次項系數是原拋物線解析式的二次項系數的相反數，進而新拋物線的解析式，再驗證是否經過B點便可；

（3）存在點D，過O點作BE的平行線，此平行線與拋物線W的另一交點便是D點，過(-4，0)作BE的平行線，此平行線與拋物線V的交點便是D點，求出這些交點的坐標便可．

（1）∵拋物線的頂點為B(﹣1，﹣1)，

∴可設拋物線的解析式為y＝a(x+1)2﹣1，

把O(0，0)代入，得0＝a﹣1，

∴a＝1，

∴拋物線的解析式為：y＝(x+1)2﹣1；

（2）令y＝0，有y＝(x+1)2﹣1＝0，

解得，x＝0或﹣2，

∴A(﹣2，0)，

∵將拋物線W繞點A旋轉180°得到拋物線V，使拋物線V的頂點為E，B(﹣1，﹣1)，

∴E(﹣3，1)，

設拋物線V的解析式為：y＝a'(x+3)2+1（a'≠0），

∵將拋物線W繞點A旋轉180°得到拋物線V，拋物線W的解析式為：y＝(x+1)2﹣1，

∴a'＝﹣1，

∴拋物線V的解析式為：y＝﹣(x+3)2+1，

當x＝﹣1時，y＝﹣4+1＝﹣3≠﹣1，

∴拋物線V是不經過點B；

（3）設直線BE的解析式為：y＝kx+b（k≠0），則

，

解得，

∴直線BE的解析式為：y＝﹣x﹣2，

過O作OD//BE，與拋物線W交于D點，如圖1，則S△OBE＝S△DBE，

設OD的解析式為：y＝﹣x+m，

把O(0，0)代入得，m＝0，

∴OD的解析式為：y＝﹣x，

聯立方程組，

解得或，

∴D(﹣3，3)；

過拋物線V與x軸的交點F(﹣4，0)作FG//BE，與拋物線V交于另一點G，如圖2，

∵OA＝AF＝2，

∴S△OAE＝S△AEF，S△OAB＝S△ABF，

∴S△OBE＝S△BEF＝S△BEG，

設直線FG的解析式為：y＝﹣x+n，

把F(﹣4，0)代入得n＝﹣4，

∴直線FG的解析式為：y＝﹣x﹣4，

聯立方程組，

解得或，

∴G(﹣1，﹣3)，

當D點與F或G重合時，S△EBD＝S△EBO，

此時D(﹣4，0)或(﹣1，﹣3)，

綜上，在拋物線W或V的圖象上存在點D，使S△EBD＝S△EBO，D的坐標為(﹣3，3)或(﹣4，0)或(﹣1，﹣3)．