Question

如圖，點D是⊙O直徑CA的延長線上一點，點B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若點E是劣弧BC上一點，弦AE與BC相交于點F，且CF=9，cos∠BFA=，求EF的長．

Answer 1

（1）證明：連接BO，
∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
∵AB=AO
∴∠ABO=∠AOB
又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切線；

（2）解：連接CE，
∵AC是直徑，
∴∠ABC=∠CEA=90°，
又∵∠AFB=∠CFE，
∴△AFB∽△CFE，
∴=，又CF=9，cos∠BFA=，
∴EF=×9=6．
分析：（1）連接BO，根據三角形的內角和定理可判斷△DOB是直角三角形，則∠OBD=90°，BD是⊙O的切線；
（2）根據圓周角定理，易證△AFB∽△CFE，結合相似比，即可得出EF的長；
點評：本題綜合考查了圓的切線的性質、圓的性質、相似三角形的判定及性質等內容，是一個綜合較強的題目．