Question

如圖，點D是⊙O直徑CA的延長線上一點，點B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若點E是劣弧BC上一點，弦AE與BC相交
于點F，且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的長．

Answer 1

（1）證明：聯結BO，……………………………1分
方法一：∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，
∵AB＝AO，
∴∠ABO＝∠AOB，………………2分
又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°，
∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，
∴BD是⊙O的切線．····················· 3分
方法二：∵AB＝AO，BO＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO為等邊三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝60°，
∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，
又∠D＋∠ABD＝∠BAO＝60°，∴∠ABD＝30°， …………………2分
∴∠OBD＝∠ABD＋∠ABO＝90°，即BD⊥BO，
∴BD是⊙O的切線． ……………………………………………………3分
方法三：∵ AB＝AD＝AO，∴點O、B、D在以OD為直徑的⊙A上 …………2分
∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，
∴BD是⊙O的切線． ……………………………………………………3分
（2）解：∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF， ……………………·· 4分
∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，
在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴，
            又∵CF=9，
∴EF=6．…………………5分

解析