Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE∥AC且DE= AC，連接AE交OD于點F，連接CE、OE．
（1）求證：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：四邊形ABCD是菱形，

∴OA=OC= AC，AD=CD，

∵DE∥AC且DE= AC，

∴DE=OA=OC，

∴四邊形OADE、四邊形OCED都是平行四邊形，

∴OE=AD，

∴OE=CD；

（2）解：∵AC⊥BD，

∴四邊形OCED是矩形，

∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，

∴AC=AB=2，

∴在矩形OCED中，CE=OD= = ．

∴在Rt△ACE中，AE= = ．

【解析】（1）由菱形ABCD中，DE∥AC且DE= AC，易證得四邊形OCED是平行四邊形，繼而可得OE=CD即可；（2）由菱形的對角線互相垂直，可證得四邊形OCED是矩形，根據菱形的性質得出AC=AB，再根據勾股定理得出AE的長度即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解菱形的性質的相關知識，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半，以及對矩形的性質的理解，了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．