Question

【題目】已知：CD是經過∠BCA頂點C的一條直線，CA＝CB.E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.

(1)若直線CD經過∠BCA的內部，且E，F在射線CD上，如圖1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，則BE______CF；并說明理由．

(2)如圖2，若直線CD經過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，請提出關于EF，BE，AF三條線段數量關系的合理猜想：__________．并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）EF=BE+AF．

【解析】

（1）求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF即可；

（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．

（1）如圖1中，

E點在F點的左側，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，

∴∠BEC=∠AFC=90°，

∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，

∴∠CBE=∠ACF，

在△BCE和△CAF中，

，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE=CF，

（2）EF=BE+AF．

理由是：如圖2中，

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，

又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，

∴∠EBC=∠ACF，

在△BEC和△CFA中，

，

∴△BEC≌△CFA（AAS），

∴AF=CE，BE=CF，

∵EF=CE+CF，

∴EF=BE+AF．