Question

如圖，梯形中，∥，，，．動點從點出發，以每秒個單位長度的速度在線段上運動；動點同時從點出發，以每秒個單位長度的速度在線段上運動．以為邊作等邊△，與梯形在線段的同側．設點、運動時間為，當點到達點時，運動結束．

（1）當等邊△的邊恰好經過點時，求運動時間的值；
（2）在整個運動過程中，設等邊△與梯形的重合部分面積為，請直接寫
出與之間的函數關系式和相應的自變量的取值范圍；
（3）如圖，當點到達點時，將等邊△繞點旋轉()，
直線分別與直線、直線交于點、．是否存在這樣的，使△為等腰三角形？
若存在，請求出此時線段的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）t=4s（2）（3）存在。

試題分析：（1）當EG經過點A時　∴△EGF為等邊三角形∴∠AEF＝60⁰＝∠B+∠BAE
∴∠BAE＝∠B＝30⁰∴BE＝AE＝t＝EF∴此時G與A,重合
∴在Rt△BAF中2t•cos30⁰=4　　　 解得t=4s           
（2）     .
（3）存在；①當M點在線段CD上時，△DMN為等腰三角形
當MD＝MN此時：∠C＝∠1＝∠N=∠CDN＝30⁰
∴ME＝MC
作MH⊥CE

EH=
∴
∴DM=
當D＝D時
此時
D＝，不存在
當ND＝NM時，則∠NDM＝∠DMN＝30⁰，則M不在線段CD上. ∴舍
②當M在CD延長線上時當N₁D=N₁M₁時∠1＝∠M₁,又∠1＝∠2
∴∠2＝∠∴EM₁=CE=
過E作EH⊥CM₁則CM₁=2CH=2×CE•cos30⁰=

∴DM₁=
當DM₂=DN₂時可知CM₂=CE=；∴DM₂=
當M₃D=M₃N時此時∠M₂N₂D=∠1=30°
∴此時：∠M₃EC=30⁰
則M不在CD延長線上∴舍去
③當M在DC延長線上時
∵∠D為150⁰∴△DMN為等腰△時只有DM＝DN
則：∠N＝∠1＝∠2＝∠M
∴CE＝CM＝∴DM＝4
綜上所述DM的長為：    
點評：本題難度較大，需要學生審題后通過動點在各范圍內求出所對應函數式，再分情況具體分析，在分析過程中應抓住“動中有靜”，即點移動過程中還會有一個量保持不變。此類題型多為中考的壓軸題。