Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，P是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與M、C重合），以AB為直徑作⊙O，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，交AD于點(diǎn)F，切點(diǎn)為E．

（1）求證：OF∥BE；
（2）設(shè)BP=x，AF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）延長(zhǎng)DC、FP交于點(diǎn)G，連接OE并延長(zhǎng)交直線DC于H（圖2），問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使△EFO∽△EHG（E、F、O與E、H、G為對(duì)應(yīng)點(diǎn)）？如果存在，試求（2）中x和y的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OE

FE、FA是⊙O的兩條切線

∴∠FAO=∠FEO=90°

在Rt△OAF和Rt△OEF中，

∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL），

∴∠AOF=∠EOF= ∠AOE，

∴∠AOF=∠ABE，

∴OF∥BE，

（2）解：過(guò)F作FQ⊥BC于Q

∴PQ=BP﹣BQ=x﹣y

PF=EF+EP=FA+BP=x+y

∵在Rt△PFQ中

∴FQ2+QP2=PF2

∴22+（x﹣y）2=（x+y）2

化簡(jiǎn)得： ，（1＜x＜2）

（3）解：存在這樣的P點(diǎn)，

理由：∵∠EOF=∠AOF，

∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，

當(dāng)∠EFO=∠EHG=2∠EOF時(shí)，

即∠EOF=30°時(shí)，Rt△EFO∽R(shí)t△EHG，

此時(shí)Rt△AFO中，

y=AF=OAtan30°= ，

∴

∴當(dāng) 時(shí)，△EFO∽△EHG

【解析】（1）根據(jù)正方形和切線的性質(zhì)得到Rt△FAO≌Rt△FEO，得到∠AOF=∠ABE，根據(jù)平行線的判定方法得到OF∥BE；（2）根據(jù)切線性質(zhì)得到PF=EF+EP=FA+BP，根據(jù)勾股定理求出BP，AF的關(guān)系；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定得到Rt△EFO∽R(shí)t△EHG，根據(jù)直角三角形中特殊角的函數(shù)值求出x、y的值，得到△EFO∽△EHG.