Question

【題目】已知：如圖，AB為⊙O的直徑，⊙O過AC的中點D，DE⊥BC于點E．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5.

【解析】（1）連接OD，利用D是AC中點，O是AB中點，那么OD就是△ABC的中位線，利用三角形中位線定理，可知OD∥BC，而DE⊥BC，則∠DEC=90°，利用平行線的性質，有∠ODE=∠DEC=90°，即DE是⊙O的切線；

（2）連接BD，由于AB是直徑，那么∠ADB=90°，即BD⊥AC，在△ABC中，點D是AC中點，于是BD是AC的垂直平分線，那么BA=BC，在Rt△CDE中，DE=2，tanC=，可求CE=4，再利用勾股定理可求CD=2，同理在Rt△CDB中，CD=2，tanC=，可求BD=，利用勾股定理可求BC=5，從而可知BA=BC=5．

（1）證明：連接OD．

∵D為AC中點，O為AB中點，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴∠DEC=90°，

∴∠ODE=∠DEC=90°，

∴OD⊥DE于點D，

∴DE為⊙O的切線；

（2）連接DB，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴DB⊥AC，

∴∠CDB=90°

∵D為AC中點，

∴AB=BC，

在Rt△DEC中，

∵DE=2，tanC=，

∴EC=＝4，

由勾股定理得：DC=2，

在Rt△DCB中，BD=DCtanC＝，

由勾股定理得：BC=5，

∴AB=BC=5，

∴⊙O的直徑為5．