Question

【題目】如圖，等腰三角形 ABC 中，AC＝BC＝13，AB＝10．以 BC 為直徑作⊙O 交 AB 于點 D，交 AC 于點 G，DF⊥AC，垂足為 F，交 CB 的延長線于點 E．

(1)求證：直線 EF 是⊙O 的切線；

(2)求 sin∠E 的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求證直線EF是⊙O的切線，只要連接OD證明OD⊥EF即可；

（2）根據∠E＝∠CBG，可以把求sin∠E的值得問題轉化為求sin∠CBG，進而轉化為求Rt△BCG中，兩邊的比的問題．

（1）證明：方法1：連接OD、CD．

∵BC是直徑，

∴CD⊥AB．

∵AC＝BC．

∴D是AB的中點．

∵O為CB的中點，

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，

∴OD⊥EF．

∴EF是O的切線．

方法2：∵AC＝BC，

∴∠A＝∠ABC，

∵OB＝OD，

∴∠DBO＝∠BDO，

∵∠A＋∠ADF＝90°

∴∠EDB＋∠BDO＝∠A＋∠ADF＝90°．

即∠EDO＝90°，

∴OD⊥ED

∴EF是O的切線．

（2）解：連BG．

∵BC是直徑，

∴∠BDC＝90°．

∵AC＝BC＝13，AB＝10

∴AD=AB=5

∴CD＝

∵ABCD＝2S△ABC＝ACBG，

∴BG＝＝．

∴CG＝．

∵BG⊥AC，DF⊥AC，

∴BG∥EF．

∴∠E＝∠CBG，

∴sin∠E＝sin∠CBG＝＝．