Question

（2013•襄陽）如圖，以AD為直徑的半圓O經過Rt△ABC斜邊AB的兩個端點，交直角邊AC于點E，B、E是半圓弧的三等分點，弧BE的長為

2

3

π，則圖中陰影部分的面積為（　　）

• A．

  π

  9

• B．

  3 π

  9

• C．

  3 3

  2

  -

  3π

  2

• D．

  3 3

  2

  -

  2π

  3

Answer 1

分析：首先根據圓周角定理得出扇形半徑以及圓周角度數，進而利用銳角三角函數關系得出BC，AC的長，利用S_△ABC-S_扇形BOE=圖中陰影部分的面積求出即可．

解答：解：連接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圓弧的三等分點，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=30°，
∵弧BE的長為

2

3

π，
∴

60π×R

180

=

2

3

π，
解得：R=2，
∴AB=ADcos30°=2

3

，
∴BC=

1

2

AB=

3

，
∴AC=

AB2-BC2

=3，
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AC=

1

2

×

3

×3=

3 3

2

，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面積相等，
∴圖中陰影部分的面積為：S_△ABC-S_扇形BOE=

3 3

2

-

60π×22

360

=

3 3

2

-

2π

3

．
故選：D．

點評：此題主要考查了扇形的面積計算以及三角形面積求法等知識，根據已知得出∴△BOE和△ABE面積相等是解題關鍵．