Question

【題目】如圖，等腰直角三角形中，，D是上一點，連接，過點作于交于在是上一點，過點作于，延長到連接，使，若，則線段的長度為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

作高線AM，根據等腰直角三角形和三線合一得：∠BAM=∠CAM=45°，設∠BAE=α，表示各角的度數，證明KG=KC，由HG：HK=2：3，設HG=2a，HK=3a計算KC、KG和CH的長，根據等角三角函數得tan∠EAM=，設FN=b，則AF=2b，由勾股定理列方程得：AD2=AF2+DF2，得102=（2a）2+（b）2，解出b的值可得結論．

解：過點A作AM⊥BC于點M，交CD于點N，

∴∠AMB=∠AMC=90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，AM=BM=CM，∠BAM=∠CAM=45°，

設∠BAE=α，則∠EAM=45°-α，∠AEC=∠B+∠BAE=45°+α，

∵AE⊥CD于點F，

∴∠AFD=∠AFC=∠EFC=90°，

∴∠ACF=90°-∠CAF=∠BAE=α，

∴∠ECF=∠ACB-∠ACF=45°-α=∠EAM，

∵GH⊥BC于H，

∴∠CHG=∠CHK=90°，

∴∠CGH=90°∠ECF=90°-（45°-α）=45°+α，∠K+∠KCH=90°，

∵∠K+2∠BAE=90°，

∴∠KCH=2∠BAE=2α，

∴∠KCG=∠KCH+∠ECF=2α+（45°-α）=45°+α，

∴∠CGH=∠KCG，

∴KG=KC，

∵HG：HK=2：3，設HG=2a，HK=3a，

∴KC=KG=5a，

∴Rt△CHK中，CH=，

∴Rt△CHG中，tan∠ECF=，

∴Rt△CMN中，tan∠ECF=，

∴MN=CM=AM=AN，

∵∠ECF=∠EAM=45°-α，

∴Rt△ANF中，tan∠EAM=＝，

設FN=b，則AF=2b，

∴MN=AN=，

∴AM=CM=2AN=，

∴Rt△CMN中，CN=，

∴CF=FN+CN=6b，

∴Rt△ACF中，tan∠ACF=，

∵∠ACF=∠DAF=α，

∴Rt△ADF中，tan∠DAF=，

∴DF=AF=b，

∵AD2=AF2+DF2，AD=10，

∴102=（2a）2+（b）2，

解得：b1=，b2=（舍去），

∴CF=6×＝，

故答案為：．