Question

【題目】如圖，，，，，直線與交于點，交于點，連接.

(1)求證：；

(2)求證：；

(3)請判斷與的大小關系并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）∠CFE=∠CAB；理由見詳解.

【解析】

（1）根據垂直的定義得到∠ACB=∠DCE=90°，由角的和差得到∠BCD=∠ACE，即可得到結論；

（2）根據全等三角形的性質得到∠CBD=∠CAE，根據對頂角的性質得到∠BGC=∠AGF，由三角形的內角和即可得到結論；

（3）過C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，根據全等三角形的性質得到AE=BD，S△ACE=S△BCD，根據三角形的面積公式得到CH=CI，于是得到CF平分∠BFH，推出△ABC是等腰直角三角形，即可得到結論．

證明：（1）∵BC⊥CA，DC⊥CE，

∴∠ACB=∠DCE=90°，

∵∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BCD與△ACE中，

，

∴△ACE≌△BCD；

（2）∵△BCD≌△ACE，

∴∠CBD=∠CAE，

∵∠BGC=∠AGF，

∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴BF⊥AE；

（3）∠CFE=∠CAB；

理由如下：過C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，

∵△BCD≌△ACE，

∴AE=BD，S△ACE=S△BCD，

即，

∴CH=CI，

∴CF平分∠BFH，

∵BF⊥AE，

∴∠BFH=90°，∠CFE=45°，

∵BC⊥CA，BC=CA，

∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，

∴∠CFE=∠CAB．