Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E為直線AB上的動點（不與A，B重合），作射線DE并繞點D逆時針旋轉45°，交直線BC邊于點F，連結EF．

探究：當點E在邊AB上，求證：EF=AE+CF．

應用：（1）當點E在邊AB上，且AD=2時，則△BEF的周長是______．

（2）當點E不在邊AB上時，EF，AE，CF三者的數量關系是______．

Answer 1

【答案】4EF=CF-AE或EF=AE-CF

【解析】

探究：作輔助線，構建全等三角形，證明△DAG≌△DCF（SAS），得∠1=∠3，DG=DF，再證明△GDE≌△FDE（SAS），根據EG的長可得結論；
應用：
（1）利用探究的結論計算三角形周長為4；
（2）分兩種情況：①點E在BA的延長線上時，如圖2，EF=CF-AE，②當點E在AB的延長線上時，如圖3，
EF=AE-CF，兩種情況都是作輔助線，構建全等三角形，證明兩三角形全等得線段相等，根據線段的和與差得出結論．

探究：證明：如圖，延長BA到G，使AG=CF，連接DG，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴DA=DC，∠DAG=∠DCF=90°，

∴△DAG≌△DCF（SAS），

∴∠1=∠3，DG=DF，

∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，

∴∠EDG=∠1+∠2=∠3+∠2=45°=∠EDF，

∵DE=DE，

∴△GDE≌△FDE（SAS），

∴EF=EG=AE+AG=AE+CF；

應用：

（1）△BEF的周長=BE+BF+EF ，

由探究得：EF=AE+CF，

∴△BEF的周長=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4，

故答案為：4；

（2）當點E不在邊AB上時，分兩種情況：

①點E在BA的延長線上時，如圖2，

EF=CF-AE，理由是：

在CB上取CG=AE，連接DG，

∵∠DAE=∠DCG=90°，AD=DC，

∴△DAE≌△DCG（SAS）

∴DE=DG，∠EDA=∠GDC

∵∠ADC=90°，

∴∠EDG=90°

∴∠EDF+∠FDG=90°，

∵∠EDF=45°，

∴∠FDG=90°-45°=45°，

∴∠EDF=∠FDG=45°，

在△EDF和△GDF中，

∵DE=DG，∠EDF=∠GDF，DF=DF

∴△EDF≌△GDF（SAS），

∴EF=FG，

∴EF=CF-CG=CF-AE；

②當點E在AB的延長線上時，如圖3，

EF=AE-CF，理由是：

延長BC到G,使CG=AE, 連接DG，

∵DA=DC,∠DAE=∠DCG=90°, CG=AE

∴△DAE≌△DCG

∴DE=DG, ∠ADE=∠CDG.

∴∠ADE+∠EDC=∠CDG+∠EDC=90.

即：∠ADC=∠EDG=90，

∵∠EDF=45°，

∴∠GDF=90°-45°=45°，

∴∠EDF=∠GDF，

∵DF=DF，∠EDF=∠GDF，DE=DG

∴△EDF≌△GDF，

∴EF=GF，

∴EF=CG-CF=AE-CF；

綜上所述，當點E不在邊AB上時，EF，AE，CF三者的數量關系是：EF=CF-AE或EF=AE-CF；