Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)的“非常距離”，給出如下定義：

若|x1x2|≥|y1y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1x2|；

若|x1x2||y1y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|y1y2|.

例如：點P1(1，2)，點P2(3，5)，因為|13||25|，所以點P1與點P2的“非常距離”為|25|3，也就是圖中線段P1Q與線段P2Q長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q的交點）.

（1）已知點A(0,1)，

①在B(,0)，C(2,1)，D(1,2)，E(0,)四個點中，與點A的“非常距離”為的點是；

②點F為x軸上一動點，直接寫出點A與點F的“非常距離”的最小值；

（2）已知點M是直線y2x6上的一個動點，

①點G的坐標是（0，2），求點M與點G的“非常距離”的最小值及相應的點M的坐標；

①點N是以點（4，0）為圓心，為半徑的圓上的一個動點，直接寫出點M與點N的“非常距離”的最小值及相應的點M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）①B ，E；②1； （2）①點 M 的坐標為()，②M 與點 N 的“非常距離”的最小值為 3，M(1, 4).

【解析】

（1）①由“非常距離”的定義可以確定在B(,0)，C(2,1)，D(1,2)，E(0,)四個點中，與點A的“非常距離”，據此可以得答案；
②設點F的坐標為（x，0），根據|0-x|＜|0-1|，得出點F與點A的“非常距離”最小值為|0-1|=1，即可得出答案；
（2）①設點M的坐標為(x0,2x06)，先確定出M點的位置，由M在直線y=2x+6上，設出M點坐標(x0,2x06)，由條件可求得M點坐標及點M與點G的“非常距離”d的最小值及相應的點M的坐標；；
②當點P在過原點且與直線y=-2x-6垂直的直線上時，點M與點P的“非常距離”最小，利用相似求出P（2，1），進而求解即可．

解：

（1）①根據定義可得：

點A（0，1）與點B(,0)的“非常距離”為=；

點A（0，1）與點C(2,1)的“非常距離”為=2；

點A（0，1）與點D(-1,2)的“非常距離”為=1；

點A（0，1）與點E(0,-)的“非常距離”為=；

故與點A的“非常距離”為的是B,E.

(2)設點F的坐標為（x，0），若點F與點A的“非常距離”最小值，則|0-x|＜|0-1|故為“非常距離”最小值|0-1|=1，

故答案為①B，E；②1；

（2）①過M點作y軸的垂線，垂足為點H，連結MG，當點M在點G的左上方且使△MGH為等腰直角三角形時，點M與點G的“非常距離”最小．
設點M的坐標為(x0,2x06)，由HM=HN得

|x0-0|=|2x06-2|，解得：x0=-4，或x0=

∴點M的坐標為（-4，-2）或（，），

∴HM=HN=4或，
∴點M與點N的“非常距離”的最小值為，相應的M的坐標為（，）；

②.當點N在過圓心P且與直線y=2x+6垂直的直線上時，點M與點N的“非常距離”最小，設N（x，y）（點N位于第一象限）．過N點作NH⊥x軸，

直線y=2x+6交坐標軸于A（0，6），B（-3，0），

∴AB=3，

∵△PBM∽△PNH，

∴

∵PN=

∴NH=1，PH=2，

∵P（4，0），

∴N（2，1），

當2-x02x061

∴x01

∴M(1,4),

點M與點N的“非常距離”的最小值為3.