Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6．點P在邊AC上運動，過點P作PD⊥AB于點D，以AP、AD為鄰邊作PADE．設□PADE與△ABC重疊部分圖形的面積為y，線段AP的長為x（0＜x≤6）．

（1）求線段PE的長（用含x的代數式表示）．

（2）當點E落在邊BC上時，求x的值．

（3）求y與x之間的函數關系式．

（4）直接寫出點E到△ABC任意兩邊所在直線距離相等時x的值．

Answer 1

【答案】（1）PE=AD=x；（2）4；（3）①y=x2；②y=﹣x2+9x﹣18；（4）3，6，

【解析】

（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，

∴∠A=45°，

∵PD⊥AB，

∴AD=APcos∠A=x=PD，

∵四邊形PADE是平行四邊形，

∴PE=AD=x；

（2）當點E落在邊BC上時，如圖1．

∵PE∥AD，

∴∠CPE=∠A=45°，

∵∠C=90°，

∴PC=PEcos∠CPE=x=x．

∵AP+PC=AC，

∴x+x=6，

∴x=4；

（3）①當0＜x≤4時，如圖2．

y=SPADE=ADPD=xx=x2，即y=x2；

②當4＜x≤6時，如圖3，設DE與BC交于G，PE與BC交于F．

∵AD=x，AB=AC=6，

∴DB=AB﹣AD=6﹣x，

∴DG=DBsin∠B=（6﹣x）=6﹣x，

∴GE=DE﹣DG=x﹣（6﹣x）=x﹣6，

∴y=SPADE﹣S△GFE=x2﹣（x﹣6）2=﹣x2+9x﹣18；

（4）①當E在△ABC內部時，0＜x＜4，如圖4，過E作EL⊥AC于L，EM⊥AB于M，延長DE交BC于N，則EN⊥BC．

EL=PEsin∠LPE=x=x，

EM=DEsin∠EDM=x=x，

EN=DN﹣DE=DBsin∠B﹣AP=（6﹣x）﹣x=6﹣x﹣x=6﹣x．

∵0＜x＜4，

∴x≠x，即EL≠EM．

當EL=EN時，E在∠ACB的平分線上，

有x=6﹣x，解得x=3，符合題意；

當EM=EN時，E在∠ABC的平分線上，

有x=6﹣x，解得x=，符合題意；

②當E在△ABC外部時，4＜x≤6，過E作EL⊥AC交AC延長線于L，EM⊥AB于M，易知EG⊥BC．

EL=GC=ADsin∠A=x=x，

EM=DEsin∠EDM=x=x，

EG=DE﹣DG=AP﹣DBsin∠B=x﹣（6﹣x）=x﹣（6﹣x）=x﹣6．

∵4＜x≤6，

∴x≠x，即EL≠EM．

當EL=EG時，E在∠ACB的外角的角平分線上，

有x=x﹣6，解得x=6，符合題意；

當EM=EG時，E在∠ABC的外角的角平分線上，

有x=x﹣6，解得x=＞6，不合題意舍去．

綜上所述，點E到△ABC任意兩邊所在直線距離相等時x的值為3，6，．