Question

【題目】如圖（1），在平面直角坐標系中，直線交y軸于點A，交x軸于點B，點C坐標為，作點C關于直線AB的對稱點F，連接BF和OF，OF交AC于點E，交AB于點M．

（1）求證：．

（2）如圖（2），連接CF交AB于點H，求證：．

（3）如圖（3），若，G為x軸負半軸上一動點，連接MG，過點M作GM的垂線交FB的延長線于點D，GB-BD的值是否為定值？若是，求其值；若不是，求其取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）是，

【解析】

（1）先求出A，B的坐標，再通過對稱得到FB=BC且垂直x軸，從而證Rt△OAC≌Rt△FOB，得到OF⊥AC．
（2）利用勾股定理和等腰直角三角形的性質分別求出BA，BF，BH即可．
（3）過M點作MN⊥x軸于N點，MH⊥DF于H點，證明直角△MEN≌直角△MDH．

（1）證明由得，

.

關于AB對稱，

，

.

又.

.

，

，即.

（2）證明：在中，，

，

在中，，

.

（3）解：GB-BD的值是定值，定值等于.

直線AB的解析式為，

點F的坐標為，直線OF的解析式為.

解方程組得，

.

過點M作軸于點N，于點H，如圖

四邊形MNBH是正方形，

.

又

，

，

.

在和中，，

.

.

綜上所述，GB-BD的值為定值.