Question

【題目】已知：如圖，點C為線段AB上一點，△ACM, △CBN都是等邊三角形，AM=AC=CM，BC=CN=BN，∠ACM=∠BCN=60°，AN交MC于點E，BM交CN于點F.

(1)求證：AN=BM;

(2)求證：判斷△CEF形狀

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△CEF是等邊三角形，理由見解析.

【解析】

（1）由等邊三角形可得其對應線段相等，對應角相等，進而可由SAS得到△ACN≌△MCB，結論得證；

（2）由（1）中的全等可得∠CAN=∠CMB，進而得出∠MCF=∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE=CF，又ECF=60°，所以△CEF為等邊三角形．

（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，

∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠NCB=60°，

∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB，

在△ACN和△MCB中， ，

∴△ACN≌△MCB（SAS），

∴AN=BM；

（2）△CEF是等邊三角形，

理由：∵△CAN≌△CMB，

∴∠CAN=∠CMB，

又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，

∴∠MCF=∠ACE，

在△CAE和△CMF中，，

∴△CAE≌△CMF（ASA），

∴CE=CF，

∴△CEF為等腰三角形，

又∵∠ECF=60°，

∴△CEF為等邊三角形．