Question

【題目】我們給出如下定義，如果一個四邊形有一條對角線能將其分成一個等邊三角形和一個直角三角形，那么這個四邊形叫做等垂四邊形，這條對角線叫做這個四邊形的等垂對角線.

（1）已知是四邊形的等垂對角線，，均為鈍角，且比大，那么________.

（2）如圖，已知與關于直線對稱，、兩點分別在、邊上，，，.求證：四邊形是等垂四邊形。

Answer 1

【答案】（1）110°或150°；（2）見解析.

【解析】

（1）由題意分∠D=90°與∠DCA=90°兩種情況，并利用四邊形內角和定理求解即可；

（2）連接，先利用SAS證明，再證明是等邊三角形，最后利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形即可.

解：（1）或.

如圖1，當∠D=90°時，設=x°，則=(x－10)°，根據四邊形內角和定理可得：

x+x－10+90+60=360，解得x=110，即110°；

如圖2，當∠DCA=90°時，60°+90°=150°；

故答案為或.

（2）證明：如圖3，連接.

∵和關于對稱，

∴，，

又∵，

∴，

∴，

∵，

∴是等邊三角形，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴是直角三角形，

∴四邊形是等垂四邊形.