Question

【題目】如圖，在中，,以AB為直徑的分別與交于點，過點作于點．

（1）求證：DF是的切線；

（2）若的半徑為3，，求陰影部分的面積；

（3）求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）陰影部分的面積是; （3）見解析．

【解析】

（1）連接OD，求出AC∥OD，可得OD⊥DF，根據切線的判定可得結論；

（2）連接OE，過O作OM⊥AC于M，根據含30度直角三角形的性質求出AE、OM的長和∠AOE的度數，然后根據陰影部分的面積＝S扇形AOES△AOE進行計算；

（3）連接BE，AD，DE，根據平行線的性質和圓周角定理求出∠FDC＝∠DAC，然后求出∠DEC＝∠C，根據三線合一得到∠EDF＝∠FDC，即可證明結論．

解：（1）連接OD，

∵AB＝AC，OB＝OD，

∴∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，

∴∠ODB＝∠C，

∴AC∥OD，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切線；

（2）連接OE，過O作OM⊥AC于M，則∠AMO＝90°，

∵DF⊥AC，

∴∠DFC＝90°，

∵∠FDC＝15°，

∴∠C＝180°90°15°＝75°，

∴∠ABC＝∠C＝75°，

∴∠BAC＝180°∠ABC∠C＝30°，

∴OM＝OA＝×3＝，AM＝，

∵OM⊥AC，

∴AE＝2AM＝，

∵∠BAC＝∠AEO＝30°，

∴∠AOE＝180°30°30°＝120°，

∴陰影部分的面積＝S扇形AOES△AOE＝；

（3）連接BE，AD，DE，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB＝90°，

∴BE⊥AC，

∵DF⊥AC，

∴BE∥DF，

∴∠FDC＝∠EBC，

∵∠EBC＝∠DAC，

∴∠FDC＝∠DAC，

∵A、B、D、E四點共圓，

∴∠DEF＝∠ABC，

∵∠ABC＝∠C，

∴∠DEC＝∠C，

∵DF⊥AC，

∴∠EDF＝∠FDC，

∴∠EDF＝∠DAC．