Question

【題目】問題再現：

數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數學知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題．初中數學里的一些代數公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導和解釋．例如：利用圖形的幾何意義推證完全平方公式．將一個邊長為a的正方形的邊長增加b，形成兩個矩形和兩個正方形，如圖1，這個圖形的面積可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2∴（a+b）2＝a2+2ab+b2

這就驗證了兩數和的完全平方公式．

問題提出：

如何利用圖形幾何意義的方法推證：13+23＝32 如圖2，A表示1個1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1個2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2個2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A、B、C、D恰好可以拼成一個（1+2）×（1+2）的大正方形，由此可得：13+23＝（1+2）2＝32

嘗試解決：

請你類比上述推導過程，利用圖形幾何意義方法推證：13+23+33＝　 　（要求自己構造圖形并寫出推證過程）

類比歸納：

請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：13+23+33+…+n3＝　 　（要求直接寫出結論，不必寫出解題過程）

實際應用：

圖3是由棱長為1的小正方體搭成的大正方體，圖中大小正方體一共有多少個？為了正確數出大小正方體的總個數，我們可以分類統計，即分別數出棱長是1，2，3和4的正方體的個數，再求總和．

例如：棱長是1的正方體有：4×4×4＝43個，棱長是2的正方體有：3×3×3＝33個，棱長是3的正方體有：2×2×2＝23個，棱長是4的正方體有：1×1×l＝13個，然后利用（3）類比歸納的結論，可得：　　＝　 　圖4是由棱長為1的小正方體成的大正方體，圖中大小正方體一共有　 　個．

逆向應用：

如果由棱長為1的小正方體搭成的大正方體中，通過上面的方式數出的大小正方體一共有44100個，那么棱長為1的小正方體一共有　 　個．

Answer 1

【答案】（1）（1+2+3）2；（2）（1+2+3+…+n）2；（3）13+23+33+43，（1+2+3+4）2，100個；（4）8000．

【解析】

根據規律可以利用相同的方法進行探究推證，由于是探究13+23+33＝？肯定構成大正方形有9個基本圖形（3個正方形6個長方形）組成，如圖所示可以推證．

實際應用：根據規律求大正方體中含有多少個正方體，可以轉化為13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2來求得．

逆向應用：可將總個數看成m2，然后再寫成＝（1+2+3+…+n）2得出大正方形每條邊上有幾個棱長為1的小正方體，進而計算出棱長為1的小正方體的個數．

解：如圖，A表示1個1×1的正方形，即1×1×1＝13；

B表示1個2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形，

因此B、C、D就可以拼成2個2×2的正方形，即：2×2×2＝23；

G與H、E與F和可以拼成3個3×3的正方形，即：3×3×3＝33；

而整個圖形恰好可以拼成一個（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，

因此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62．

故答案為：（1+2+3）2或62．

根據規律可得：13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2．

依據規律得：13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝102＝100．

故答案為：13+23+33+43＝（1+2+3+4）2 100

∵44100＝2102＝（1+2+3+…+n）2

∴n＝20

∴20×20×20＝8000

故答案為8000．