Question

【題目】平面內,如圖,在□ABCD中,AB=10，AD=15，，點P為AD邊上任意點,連接PB，將PB繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ.

（1）當∠DPQ= 10°時，求∠APB的大小；

（2）當 時,求點Q與點B間的距離(結果保留根號)；

（3）若點Q恰好落在口ABCD的邊所在的直線上,直接寫出PB旋轉到PQ所掃過的面積.(結果保留π).

Answer 1

【答案】（1）當∠DPQ=10°時,∠APB的值為80°或100°；（2）；（3）PB旋轉到PQ所掃過的面積為32π或20π或16π.

【解析】

（1）根據題意畫出圖形分情況討論：①當點Q在平行四邊形ABCD內時，②當點Q在平行四邊形ABCD外時，結合題意分別求得答案.

（2） 連接BQ，作PE⊥AB于E，由已知結合題意即可求得tan∠ABP=2，在Rt△APE中，根據正切函數定義可設PE=4k，則AE=3k，在Rt△PBE中，根據正切函數定義可得EB=2k，

由AB=AE+EB即可求得k值，從而可得PE=8，EB=4，在Rt△PBE中，根據勾股定理可求得PB長，由等腰直角三角形性質可求得BQ長 .

（3）分三種情形分別求解即可； ①如圖，當點Q落在直線BC上時，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F；在Rt△AEB中，根據正切tanA的值可求得BE=8，AE=6，從而可得PF=BE=8，根據等腰直角三角形的性質可得PF=BF=FQ=8，根據勾股定理可得PB=PQ=，根據扇形面積公式可得PB旋轉到PQ所掃過的面積；

②如圖，當點Q落在CD上時，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延長線于F；設PE=x，由全等三角形判定可得△PBE≌△QPF，再由正切函數定義列方程可求PE=4，在Rt△PEB中，根據勾股定理求得PB=4，根據扇形面積公式可得PB旋轉到PQ所掃過的面積；

③如圖，當點Q落在AD上時，易知PB=PQ=8，根據扇形面積公式可得PB旋轉到PQ所掃過的面積.

（1）解：如圖1中，

①當點Q在平行四邊形ABCD內時,∠AP′B=180°∠Q′P′B∠Q′P′D=180°90°10°=80°

②當點Q在平行四邊形ABCD外時,∠APB=180°(∠QPB∠QPD)=180°(90°10°)=100°

綜上所述,當∠DPQ=10°時,∠APB的值為80°或100°

（2）如圖2中，連接BQ，作PE⊥AB于E.

∵tan∠ABP:tanA=3:2,tanA=，

∴tan∠ABP=2，在Rt△APE中,tanA=，

設PE=4k，則AE=3k，在Rt△PBE中,tan∠ABP==2，

∴EB=2k，

∴AB=5k=10，

∴k=2，

∴PE=8，EB=4，

∴PB=，

∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴BQ=PB= .

（3）①如圖3中，當點Q落在直線BC上時，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F. 則四邊形BEPF是矩形。

在Rt△AEB中,∵tanA=，

∵AB=10，∴BE=8，AE=6，

∴PF=BE=8，

∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF=BF=FQ=8，

∴PB=PQ=，

∴PB旋轉到PQ所掃過的面積=.

②如圖4中，當點Q落在CD上時，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延長線于F. 設PE=x.

易證△PBE≌△QPF，

∴PE=QF=x，EB=PF=8，∴DF=AE+PE+PFAD=x1，∵CD∥AB，∴∠FDQ=∠A，

∴tan∠FDQ=tanA=，

∴，

∴x=4，∴PE=4,

在Rt△PEB中,PB= ，

∴PB旋轉到PQ所掃過的面積=.

③如圖5中，

當點Q落在AD上時，易知PB=PQ=8，

∴PB旋轉到PQ所掃過的面積=，

綜上所述，PB旋轉到PQ所掃過的面積為32π或20π或16π.