Question

【題目】如圖，已知直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過、兩點并與軸的另一個交點為，且.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點為直線上方對稱軸右側拋物線上一點，當的面積為時，求點的坐標；

（3）在（2）的條件下，連接，作軸于，連接、，點為線段上一點，點為線段上一點，滿足，過點作交軸于點，連接，當時，求的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）R（3，3）；（3）1或．

【解析】

（1）求出A、B、C的坐標，把A、B的坐標代入拋物線解析式，解方程組即可得出結論；

（2）設R（t，）．作RK⊥y軸于K，RW⊥x軸于W，連接OR．

根據計算即可；

（3）在RH上截取RM=OA，連接CM、AM，AM交PE于G，作QF⊥OB于H．分兩種情況討論：①點E在F的左邊；②點E在F的右邊．

（1）當x=0時y=3，

∴C（0，3），

∴OC=3．

∵OC=3OA，

∴OA=1，

∴A（-1，0）．

當y=0時x=4，

∴B（4，0）．

把A、B坐標代入得解得：，

∴拋物線的解析式為．

（2）設R（t，）．

作RK⊥y軸于K，RW⊥x軸于W，連接OR．

∵

∵，

∴，（舍去），，

∴R（3，3）．

（3）在RH上截取RM=OA，連接CM、AM，AM交PE于G，作QF⊥OB于H．

分兩種情況討論：①當點E在F的左邊時，如圖1．

∵CR=CO，∠CRM=∠COA，

∴△CRM≌△COA，

∴CM=CA，∠RCM=∠OCA，

∴∠ACM=∠OCR=90°，

∴∠CAM=∠CMA=45°．

∵AC∥PE，

∴∠CAM=∠AGE=45°．

∵∠PEQ=45°，

∴∠AGE=∠PEQ，

∴AM∥EQ，

∴∠MAH=∠QEF．

∵∠QFE=∠MHA=90°，

∴△QEF∽△MAH，

∴．

∵OA=1，OH=3，MH=RH-RM=3-1=2，

∴AH=AO+OH=4，

∴EF=2QF．

設CP=m，

∴QH=CP=m．

∵OC=OH，

∴∠OHC=45°，

∴QF=FH=m，

∴EF=2m，

∴EH=3m．

∵ACPE為平行四邊形，

∴AE=CP=m．

∵EH=AH-AE=4-m，

∴3m=4-m，

∴m=1，

∴CP=1．

②當點E在F的右邊時，設AM交QE于N．如圖2．

∵CR=CO，∠CRM=∠COA，

∴△CRM≌△COA，

∴CM=CA，∠RCM=∠OCA，

∴∠ACM=∠OCR=90°，

∴∠CAM=∠CMA=45°．

∵AC∥PE，

∴∠CAM=∠AGE=45°．

∵∠PEQ=45°，

∴∠AGE=∠PEQ=45°，

∴∠ENG=∠ENA=90°．

∵∠EQF+∠QEF=90°，∠EAN+∠QEF=90°，

∴∠EQF=∠MAB．

∵∠QFE=∠AHM=90°，

∴△QEF∽△AMH，

∴，

∴QF=2EF．

設CP=m，

∴QH=CP=m．

∵OC=OH，

∴∠OHC=45°，

∴QF=FH=m，

∴EF=m，

∴EH=m．

∵ACPE為平行四邊形，

∴AE=CP=m．

∵EH=AH-AE=4-m，

∴4-m=m，

∴m=，

∴CP=．

綜上所述：CP的值為1或．