Question

【題目】如圖，在△AOC中，∠OAC＝90°，AO＝AC，OC＝2，將△AOC放置于平面直角坐標系中，點O與坐標原點重合，斜邊OC在x軸上．反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點A．將△AOC沿x軸向右平移2個單位長度，記平移后三角形的邊與反比例函數圖象的交點為A1，A2．重復平移操作，依次記交點為A3，A4，A5，A6…分別過點A，A1，A2，A3，A4，A5…作x軸的垂線，垂足依次記為P，P1，P2，P3，P4，P5…若四邊形APP1A1的面積記為S1，四邊形A2P2P3A3的面積記為S2…，則Sn＝_____．（用含n的代數式表示，n為正整數）

Answer 1

【答案】

【解析】

先確定△APC和△A1P1C是等腰直角三角形，四邊形APP1A1是直角梯形，設A1P1＝a，則A（1，1），A1（2+a，a），根據點A和A1都在反比例函數的圖象上，可列式為1×1＝a（2+a），求出反比例函數解析式和a的值，同理可得結論．

解：∵∠OAC＝90°，AO＝AC，OC＝2，

∴∠AOC＝∠ACO＝45°，

∵AP⊥OC，A1P1⊥x軸，

∴△APC和△A1P1C是等腰直角三角形，四邊形APP1A1是直角梯形，

∴AP＝PC＝1，A1P1＝P1C，

設A1P1＝a，則A（1，1），A1（2+a，a），

∴1×1＝a（2+a），a2+2a＝1，（a+1）2＝2，

則反比例函數解析式為：，

，

同理得：△A2P2C1和△A3P3C1是等腰直角三角形，四邊形A2P2P3A3是直角梯形，

∴A2P2＝P2C1，A3P3＝P3C1，

設A2P2＝b，A3P3＝c，則A2（4﹣b，b），A3（4+c，c），

∴b（4﹣b）＝1，c（4+c）＝1，

∴b＝2+（舍）或2﹣，c＝﹣2﹣（舍）或﹣2+

；

△A4P4C2和△A5P5C2是等腰直角三角形，四邊形A4P4P5A5是直角梯形，

∴A4P4＝P4C2，A5P5＝P5C2，

設A4P4＝m，A5P5＝n，則A4（6﹣m，m），A5（6+n，n），

∴m（6﹣m）＝1，n（6+n）＝1，

∴m＝3+（舍）或3﹣，n＝﹣3﹣（舍）或﹣3+，

；

…

∴Sn＝

故答案為：．