Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A，B重合），對角線AC、BD相交于點O，過點P分別作AC、BD的垂線，分別交AC、BD于點E、F，交AD、BC于點M、N．下列結論：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③△POF∽△BNF；④當△PMN∽△AMP時，點P是AB的中點，其中一定正確的結論有_____．（填上所有正確的序號）．

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

①根據正方形的每一條對角線平分一組對角可得∠PAE=∠MAE=45°，然后利用“角邊角”證明△APE和△AME全等；②根據全等三角形對應邊相等可得，同理，，證出四邊形PEOF是矩形，得出PF=OE，證得△APE為等腰直角三角形，得出AE=PE，PE+PF=OA，即可得到PM+PN=AC；

③判斷出△POF不一定等腰直角三角形，△BNF是等腰直角三角形，從而確定出兩三角形不一定相似；④證出△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，從而得出結論．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC＝∠DAC＝45°．

∵PM⊥AC，

∴∠AEP=∠AEM=90°，

在△APE和△AME中，

，

∴△APE≌△AME（ASA），故①正確；

∴，

同理，．

∵正方形ABCD中，AC⊥BD，

又∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE

∴四邊形PEOF是矩形．

∴PF＝OE，

∵在△APE中，∠AEP=90°，∠PAE=45°，

∴△APE為等腰直角三角形，

∴AE=PE，

∴PE+PF＝OA，

又∵，，，

∴PM+PN＝AC，故②正確；

∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，

∴△POF與△BNF不一定相似，故③錯誤；

∵△AMP是等腰直角三角形，當△PMN∽△AMP時，△PMN是等腰直角三角形．

∴PM＝PN，

又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，

∴AP＝BP，即P是AB的中點．故④正確．

故答案為：①②④．