Question

【題目】如圖，在中，，，，點為中點．動點從點出發，沿方向以每秒個單位長度的速度向終點運動，點關于點對稱點為點，以為邊向上作正方形．設點的運動時間為秒．

（1）當_______秒時，點落在邊上．

（2）設正方形與重疊部分面積為，當點在內部時，求關于的函數關系式．

（3）當正方形的對角線所在直線將的分為面積相等的兩部分時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）的值為或．

【解析】

（1）如下圖，根據，可得出PN與AP的關系，從而求出t的值；

（2）如下圖，存在2種情況，一種是點M在△ABC內，另一種是點M在△ABC外部，分別根據正方形和三角形求面積的公式可求解；

（3）如下圖，存在2種情況，一種是PM所在的直線將△ABC的面積平分，另一種是QN所在的直線將△ABC的面積平分．

（1）如圖1，點N在AC上

圖1

由題意可知：PD=DQ=t，AP=7－t

∴PN=PQ=2t

∵

∴，即

解得：t=

（2）①如圖2，

圖2

四邊形是正方形，

，

，

，即

解得，

故當≤時，；

②如圖3，

圖3

，，

，，

則，

，

，

則；

綜上，．

（3）如下圖，過點C作AB的垂線，交AB于點G

圖4

∵

∴設CG=4x，則AG=3x

∵∠B=45°

∴△CBG是等腰直角三角形

∴GB=GC=4x

∵AB=14

∴3x+4x=14，解得：x=2

∴

∴

情況一：PM所在的直線平分△ABC的面積，如下圖，PM與BC交于點E

圖5

則

∵四邊形PQMN是正方形，∴∠EPB=45°

∵∠B=45°

∴△PBE是等腰直角三角形

∵

∴PE=PB=

∴PB=

∵PB=AB－PA=14－(7－t)=7+t

∴7+t=

t=

情況二：如下圖，QN所在線段平分△ABC的面積，QF交AC于點F，過點F作AB的垂線，交AB于點H

圖6

同理，

∵四邊形PQMN是正方形，∴∠EQH=45°

∴△FHQ是等腰直角三角形

∵

∴設FH=4y，則AH=3y，HQ=FH=4y，∴AQ=7y

∴，解得：y=

∵AQ=AB－QB=14－(7－t)=7+t

∴7+t=7

解得：t=7

∴綜上得：的值為或．