Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的正半軸交于點(diǎn)A，拋物線的頂點(diǎn)為B，直線經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且．

（1）求拋物線的解析式

（2）點(diǎn)P在第一象限內(nèi)對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，其橫坐標(biāo)為，連接OP，交對(duì)稱軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作軸，交直線于點(diǎn)，連接，設(shè)線段的長(zhǎng)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)在線段上，連接，交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作軸，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；（2），自變量的取值范圍是；（3），點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥OA垂足為C．令y=0可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，由拋物線的對(duì)稱性可得到AC=3，然后依據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義可得到BC的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，可求得a、b的值，于是可求得拋物線的解析式；

（2）先求得直線AB的解析式，設(shè)P的坐標(biāo)為（t，-t2+6t），可求得直線OP的解析式為y=（-t+6）x，接下來(lái)，求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，從而得到D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3t+18．接下來(lái)將點(diǎn)D點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入直線AB的解析式可求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)P點(diǎn)和D點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，可至PD的長(zhǎng)等于P、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差；

（3）延長(zhǎng)PQ交y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)P作PM∥x軸．先證明∠PMH=∠PMO，于是可證明△PHM≌△POM，由全等三角形的性質(zhì)可得到HM=OM，設(shè)P（a，-a2+6a），則H（0，-2a2+12a）．接下來(lái)，求得PH的解析式（用含a的式子表示）；于是可求得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得F的坐標(biāo)（用含a的式子表示），將F的坐標(biāo)代入直線AB的解析式可求得a的值，于是可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)、PH的解析式、點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，然后將點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)代入PH的解析式可求得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，于是可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，最后將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可作出判斷．

（1）如圖1所示，過(guò)點(diǎn)B作，

令則，

，

，

，

因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且B為頂點(diǎn)，

所以，

，

，

，

，解得，

所以拋物線解析式為．

(2)如圖2所示，

設(shè)直線AB解析式為，

則，

解得，

所以直線解析式為，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，OP的解析式為，

，

將代入解析式得，

，

軸，的縱坐標(biāo)為，

將代入直線AB的解析式得：，

，

，

軸，，

自變量的取值范圍是．

如圖3所示：延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸，

軸，

，

，

，

軸，

，

，

，

，

設(shè)，則，

設(shè)PH的解析式為，

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得：，

解得，

所以直線PH的解析式為，

將代入得解析式為，

所以點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，

，

，

，

將代入AB的解析式得：，

，

整理得：，

解得或(舍去)

當(dāng)時(shí)，，

，

，

所以直線PH的解析式為，

將代入得：，

，

，

軸，所以的縱坐標(biāo)為8，

將代入，得，

解得，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．