Question

【題目】如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，EF交線段CD于點P，FE的延長線交線段BC于點H，連接AH、AP．

（1）求證：△ADP≌△AEP；

（2）①求∠HAP的度數；②判斷線段HP、BH、DP的數量關系，并說明理由；

（3）連接DE、EC、CF、DF得到四邊形CFDE，在旋轉過程中，四邊形CFDE能否為矩形？若能，求出BH的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析；(2)①45°；②HP=HE+EP=HB+DP；(3)能，2.

【解析】

試題分析：（1）根據旋轉變換的性質得到AB=AE，∠AEP=∠ABH=90°，根據正方形的性質得到AD=AB，∠D=90°，根據直角三角形的全等的判定定理證明即可；

（2）證明Rt△COH≌Rt△CDH，得到∠OCH=∠DCH，HO=DH，等量代換即可；

（3）根據矩形的判定定理證明四邊形AEBD是矩形，設點H的坐標為（x，0），根據勾股定理列出方程，解方程求出x的值，得到點H的坐標．

試題解析：(1)∵將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉角度α，

∴AB=AE，∠AEP=∠ABH=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠D=90°，

∴AE=AD，∠D=∠AEP=90°

在Rt△ADP與Rt△AEP中，

AD=AE，AP=AP，

∴Rt△ADP≌Rt△AEP；

（2）∵∠AEP=90°，

∴∠AEH=90°，

在Rt△ABH與Rt△AEH中，

AB=AE，AH=AH，

∴Rt△ABH≌Rt△AEH，

∴∠BAH=∠EAH，BO=HE，

∵Rt△AEP≌Rt△ADP，

∴∠EAP=∠DAP，EP=DP，

∴∠HAP=∠HAE+∠EAP=∠BAD=45°，

HP=HE+EP=HB+DP；

（3）當P是CD中點時，四邊形CFDE是矩形，

∵P是CD中點，

∴DP=CP=CD，

由（2）得EP=DP，

又∵CD=EF，

∴DG=DE，

∴DP=PC=PE=PF，

∴四邊形CFDE是矩形，

設BH=x，

則HE=BH=x，PE=PD=PC=3，CH=6﹣x，

由勾股定理得，，

解得，x=2，即BH=2．