Question

【題目】如圖，邊長為4的正方形ABCD內接于⊙O，點E是弧AB上的一動點（不與點A、B重合），點F是弧BC上的一點，連接OE，OF，分別與交AB，BC于點G，H，且∠EOF=90°，連接GH，有下列結論：

①弧AE=弧BF；②△OGH是等腰直角三角形；③四邊形OGBH的面積隨著點E位置的變化而變化；④△GBH周長的最小值為4+2．

其中正確的是_____．（把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根據ASA可證△BOE≌△COF，根據全等三角形的性質得到BE=CF，根據等弦對等弧得到 ，可以判斷①；
②根據SAS可證△BOG≌△COH，根據全等三角形的性質得到∠GOH=90°，OG=OH，根據等腰直角三角形的判定得到△OGH是等腰直角三角形，可以判斷②；
③通過證明△HOM≌△GON，可得四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積，可以判斷③；
④根據△BOG≌△COH可知BG=CH，則BG+BH=BC=4，設BG=x，則BH=4-x，根據勾股定理得到GH== ，可以求得其最小值，可以判斷④．

解：①如圖所示，

∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE與△COF中，

，
∴△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴ ，①正確；
②∵OC=OB，∠COH=∠BOG，∠OCH=∠OBG=45°，
∴△BOG≌△COH；
∴OG=OH，∵∠GOH=90°，
∴△OGH是等腰直角三角形，②正確．

③如圖所示，

∵△HOM≌△GON，
∴四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積，③錯誤；
④∵△BOG≌△COH，
∴BG=CH，
∴BG+BH=BC=4，
設BG=x，則BH=4-x，
則GH==，
∴其最小值為4+2，④正確．
故答案為：①②④